4a Questão (2,5 pontos)
Uma empresa de energia está implementando um novo sistema de iluminação pública inteligente, utilizarido luminárias LED com controle remoto e sensores de presença. Cada poste de iluminação comporta até 80 luminárias, e a estrutura metálica e a fiaçăo suportam um peso máximo de 2.900 kg . As especificações técnicas observadas em testes de campo:
- Cada luminária LED inteligente pesa, em média, 33 kg , com desvio padrão de 2 kg (varíações de carcaça, dissipadores e eletronica).
- Cada conjunto de braço metálico e cabeamento de fixação contribui com
, com desvio padräo de
.
- Os pesos da luminária e da estrutura de fixaçâo sâo estatisticamente independentes.
a) Qual a probabilidade de que o peso total de 80 luminárias com seus respectivos suportes ultrapasse o limite de 2.900 kg do poste de iluminaçâo?
b) A equipe de projeto deseja estabelecer um novo limite de carga estrutural com base em um critério de confiabilidade. Qual deve ser o valor mínimo do limite de carga útil, para que a probabilidade de excede-lo com 80 luminárias e suportes seja inferior a
?
c) Durante a inspeção de qualidade, cerca de
das luminárias apresentam falhas nos sensores ou no sistema de comunicação. Se forem testadas 90 luminárias, qual a probabilidade de que pelo menos 84 estejam em perfeito funcionamento para serem instaladas?
a) Qual a probabilidade de que o peso total de 80 luminárias com seus respectivos suportes ultrapasse o limite de 2.900 kg do poste de iluminaçâo?
b) A equipe de projeto deseja estabelecer um novo limite de carga estrutural com base em um critério de confiabilidade. Qual deve ser o valor mínimo do limite de carga útil, para que a probabilidade de excede-lo com 80 luminárias e suportes seja inferior a
c) Durante a inspeção de qualidade, cerca de
Passo 1
O enunciado pede três coisas (a, b e c). Vou listar claramente o que é pedido e todas as informações fornecidas para não nos perdermos.
Perguntas:
- (a) Qual a probabilidade de que o peso total de 80 luminárias com seus respectivos suportes ultrapasse o limite de
do poste? - (b) Qual o valor mínimo do limite de carga útil (um número em kg) para que a probabilidade de excedê‑lo com 80 luminárias e suportes seja inferior a
? - (c) Se
das luminárias têm falha, e testam-se luminárias, qual a probabilidade de que pelo menos estejam em perfeito funcionamento?
Informações/dados do enunciado:
- Cada luminária: média
, desvio padrão . - Cada conjunto de braço + cabeamento (suporte): média
, desvio padrão . - Os pesos da luminária e do suporte são estatisticamente independentes.
- Cada poste suporta no máximo
luminárias (aqui vamos somar exatamente unidades). - Para a parte (c): proporção de falhas
; logo probabilidade de uma luminária estar perfeita é ; número de testes .
Nada mais será pedido ao enunciado — com essas informações podemos resolver as três partes.
Passo 2
Plano de ataque (bem didático): quando somamos muitas variáveis independentes (aqui, o peso total das
unidades), é natural usar as propriedades de esperança e variância de somas e, como
é um número grande, usar a aproximação normal (Teorema Central do Limite). Vou explicar e aplicar passo a passo.
Primeiro — peso de uma unidade (luminária + suporte):
- Se
é o peso da luminária e o do suporte, a variável por unidade é . - Esperança de
: . - Variância de
(como e são independentes): .
Agora calculemos numericamente:
Para
unidades (soma de
variáveis iid
):
- Esperança do total
: . - Variância do total:
.
Calculemos:
Observação intuitiva: a média total esperada
já está um pouco acima do limite
; a próxima etapa é quantificar essa diferença usando a normal.
Passo 3
Resolvendo (a) com passo a passo: probabilidade de exceder
.
Queremos
. Pelo TCL aproximamos
por uma normal com média
e desvio padrão
. Normalizamos (padronização) para usar a função de distribuição normal padrão
:
A padronização é: para qualquer
,
Aqui:
Então
Usamos a simetria da normal:
. Assim
Consultando tabela/avaliando
(ou usando calculadora de norma padrão) obtemos aproximadamente
Portanto a probabilidade pedida é aproximadamente
(ou
). Interpretação: é bem provável que ultrapasse o limite, pois a média já está acima do limite.
Passo 4
Resolvendo (b) com passo a passo: determinar o menor limite
tal que
.
Queremos
tal que
. Pela aproximação normal,
é o quantil
da normal com média
e desvio
. Em termos de
padrão:
onde
é o quantil tal que
.
Valor tabelado:
.
Substituindo números:
Interpretação prática: para que a chance de exceder o limite por 80 luminárias seja menor que
, o limite mínimo deve ser aproximadamente
. (Pode arredondar para
.)
Passo 5
Resolvendo (c) com passo a passo: probabilidade de pelo menos
em perfeito funcionamento entre
testadas, sabendo que a probabilidade individual de estar perfeita é
.
Modelo exato:
. O pedido é
. Essa soma é correta, mas computacionalmente trabalhosa à mão. Como
é grande e
não é extremo, usamos a aproximação normal para a binomial (regra prática: válido quando
e
são ambos maiores que 5; aqui
e
, ok).
Para a aproximação normal:
- Esperança:
- Variância:
- Desvio padrão:
Usamos correção de continuidade (recomendado para aproximação da binomial por normal):
ou seja usamos o ponto
como limite inferior (porque a probabilidade discreta de
corresponde a contínuo
).
Padronizando:
Portanto
Consultando tabela/avaliando
:
Interpretação: a chance de ter pelo menos
luminárias perfeitas entre
é aproximadamente
. Isso significa que é ligeiramente mais provável que sim do que não — a média esperada é
, portanto
está muito perto da média.
Resposta
(a)
(ou
).
(b) .
(c) (ou
).
(b)
(c)