4a Questão (2,5 pontos)

Uma empresa de energia está implementando um novo sistema de iluminação pública inteligente, utilizarido luminárias LED com controle remoto e sensores de presença. Cada poste de iluminação comporta até 80 luminárias, e a estrutura metálica e a fiaçăo suportam um peso máximo de 2.900 kg . As especificações técnicas observadas em testes de campo:
  • Cada luminária LED inteligente pesa, em média, 33 kg , com desvio padrão de 2 kg (varíações de carcaça, dissipadores e eletronica).
  • Cada conjunto de braço metálico e cabeamento de fixação contribui com 3,5 \mathrm{~kg}, com desvio padräo de 0,4 \mathrm{~kg}.
  • Os pesos da luminária e da estrutura de fixaçâo sâo estatisticamente independentes.
    a) Qual a probabilidade de que o peso total de 80 luminárias com seus respectivos suportes ultrapasse o limite de 2.900 kg do poste de iluminaçâo?
    b) A equipe de projeto deseja estabelecer um novo limite de carga estrutural com base em um critério de confiabilidade. Qual deve ser o valor mínimo do limite de carga útil, para que a probabilidade de excede-lo com 80 luminárias e suportes seja inferior a 0,5 \% ?
    c) Durante a inspeção de qualidade, cerca de 7 \% das luminárias apresentam falhas nos sensores ou no sistema de comunicação. Se forem testadas 90 luminárias, qual a probabilidade de que pelo menos 84 estejam em perfeito funcionamento para serem instaladas?

Passo 1

O enunciado pede três coisas (a, b e c). Vou listar claramente o que é pedido e todas as informações fornecidas para não nos perdermos.
Perguntas:
  • (a) Qual a probabilidade de que o peso total de 80 luminárias com seus respectivos suportes ultrapasse o limite de \,2900\\ \mathrm{kg}\, do poste?
  • (b) Qual o valor mínimo do limite de carga útil (um número em kg) para que a probabilidade de excedê‑lo com 80 luminárias e suportes seja inferior a 0{,}5\% ?
  • (c) Se 7\% das luminárias têm falha, e testam-se 90 luminárias, qual a probabilidade de que pelo menos 84 estejam em perfeito funcionamento?
Informações/dados do enunciado:
  • Cada luminária: média \mu_L = 33\\ \mathrm{kg}, desvio padrão \sigma_L = 2\\ \mathrm{kg}.
  • Cada conjunto de braço + cabeamento (suporte): média \mu_F = 3{,}5\\ \mathrm{kg}, desvio padrão \sigma_F = 0{,}4\\ \mathrm{kg}.
  • Os pesos da luminária e do suporte são estatisticamente independentes.
  • Cada poste suporta no máximo 80 luminárias (aqui vamos somar exatamente 80 unidades).
  • Para a parte (c): proporção de falhas =0{,}07; logo probabilidade de uma luminária estar perfeita é p=0{,}93; número de testes n=90.
Nada mais será pedido ao enunciado — com essas informações podemos resolver as três partes.

Passo 2

Plano de ataque (bem didático): quando somamos muitas variáveis independentes (aqui, o peso total das 80 unidades), é natural usar as propriedades de esperança e variância de somas e, como 80 é um número grande, usar a aproximação normal (Teorema Central do Limite). Vou explicar e aplicar passo a passo.
Primeiro — peso de uma unidade (luminária + suporte):
  • Se L é o peso da luminária e F o do suporte, a variável por unidade é U = L + F.
  • Esperança de U: \displaystyle \mu_U = \mu_L + \mu_F.
  • Variância de U (como L e F são independentes): \displaystyle \sigma_U^2 = \sigma_L^2 + \sigma_F^2.
    Agora calculemos numericamente:
\mu_U = 33 + 3{,}5 = 36{,}5\\ \mathrm{kg}.
\sigma_U^2 = 2^2 + 0{,}4^2 = 4 + 0{,}16 = 4{,}16\\ \mathrm{kg}^2.
\sigma_U = \sqrt{4{,}16}\approx 2{,}0396\\ \mathrm{kg}.
Para 80 unidades (soma de 80 variáveis iid U):
  • Esperança do total S: \displaystyle \mu_S = 80\mu_U = 80\cdot 36{,}5.
  • Variância do total: \displaystyle \sigma_S^2 = 80\sigma_U^2 = 80\cdot 4{,}16.
    Calculemos:
\mu_S = 80\cdot 36{,}5 = 2920\\ \mathrm{kg}.
\sigma_S^2 = 80\cdot 4{,}16 = 332{,}8\\ \mathrm{kg}^2,\qquad \sigma_S = \sqrt{332{,}8}\approx 18{,}248\\ \mathrm{kg}.
Observação intuitiva: a média total esperada 2920\\ \mathrm{kg} já está um pouco acima do limite 2900\\ \mathrm{kg}; a próxima etapa é quantificar essa diferença usando a normal.

Passo 3

Resolvendo (a) com passo a passo: probabilidade de exceder 2900\\ \mathrm{kg}.
Queremos \displaystyle P(S>2900). Pelo TCL aproximamos S por uma normal com média \mu_S e desvio padrão \sigma_S. Normalizamos (padronização) para usar a função de distribuição normal padrão \Phi:
A padronização é: para qualquer x,
Z = \frac{X - \mu}{\sigma},\quad\text{onde }Z\sim N(0,1).
Aqui:
z = \frac{2900 - \mu_S}{\sigma_S} = \frac{2900 - 2920}{18{,}248} = \frac{-20}{18{,}248}\approx -1{,}096.
Então
P(S>2900) = 1 - P(S\le 2900) \approx 1 - \Phi\!\big(z\big) = 1 - \Phi(-1{,}096).
Usamos a simetria da normal: \Phi(-a)=1-\Phi(a). Assim
1 - \Phi(-1{,}096) = \Phi(1{,}096).
Consultando tabela/avaliando \Phi(1{,}096) (ou usando calculadora de norma padrão) obtemos aproximadamente
\Phi(1{,}096)\approx 0{,}863.
Portanto a probabilidade pedida é aproximadamente 0{,}863 (ou 86{,}3\%). Interpretação: é bem provável que ultrapasse o limite, pois a média já está acima do limite.

Passo 4

Resolvendo (b) com passo a passo: determinar o menor limite L tal que \,P(S>L)<0{,}5\% = 0{,}005.
Queremos L tal que P(S\le L)=1-0{,}005=0{,}995. Pela aproximação normal, L é o quantil 99{,}5\% da normal com média \mu_S e desvio \sigma_S. Em termos de z padrão:
L = \mu_S + z_{0{,}995}\,\sigma_S,
onde z_{0{,}995} é o quantil tal que \Phi(z_{0{,}995})=0{,}995.
Valor tabelado: z_{0{,}995}\approx 2{,}5758.
Substituindo números:
L = 2920 + 2{,}5758\cdot 18{,}248 \approx 2920 + 47{,}02 \approx 2967{,}02\\ \mathrm{kg}.
Interpretação prática: para que a chance de exceder o limite por 80 luminárias seja menor que 0{,}5\%, o limite mínimo deve ser aproximadamente \,2967\\ \mathrm{kg}. (Pode arredondar para 2967\\ \mathrm{kg}.)

Passo 5

Resolvendo (c) com passo a passo: probabilidade de pelo menos 84 em perfeito funcionamento entre 90 testadas, sabendo que a probabilidade individual de estar perfeita é p=0{,}93.
Modelo exato: X\sim \mathrm{Binomial}(n=90,p=0{,}93). O pedido é P(X\ge 84)=\sum_{k=84}^{90}\binom{90}{k}0{,}93^k 0{,}07^{90-k}. Essa soma é correta, mas computacionalmente trabalhosa à mão. Como n é grande e p não é extremo, usamos a aproximação normal para a binomial (regra prática: válido quando np e n(1-p) são ambos maiores que 5; aqui np=90\cdot0{,}93=83{,}7 e n(1-p)=6{,}3, ok).
Para a aproximação normal:
  • Esperança: \displaystyle \mu_X = np = 90\cdot 0{,}93 = 83{,}7.
  • Variância: \displaystyle \sigma_X^2 = np(1-p) = 90\cdot 0{,}93\cdot 0{,}07 = 5{,}859.
  • Desvio padrão: \displaystyle \sigma_X = \sqrt{5{,}859}\approx 2{,}4206.
Usamos correção de continuidade (recomendado para aproximação da binomial por normal):
P(X\ge 84)\approx P\big(X_{\text{normal}}\ge 83{,}5\big),
ou seja usamos o ponto 83{,}5 como limite inferior (porque a probabilidade discreta de X\ge 84 corresponde a contínuo \ge 83{,}5).
Padronizando:
z = \frac{83{,}5 - \mu_X}{\sigma_X} = \frac{83{,}5 - 83{,}7}{2{,}4206} = \frac{-0{,}2}{2{,}4206}\approx -0{,}0826.
Portanto
P(X\ge 84)\approx 1 - \Phi\!\big(\frac{83{,}5-\mu_X}{\sigma_X}\big) = 1 - \Phi(-0{,}0826) = \Phi(0{,}0826).
Consultando tabela/avaliando \Phi(0{,}0826):
\Phi(0{,}0826)\approx 0{,}533.
Interpretação: a chance de ter pelo menos 84 luminárias perfeitas entre 90 é aproximadamente 53{,}3\%. Isso significa que é ligeiramente mais provável que sim do que não — a média esperada é 83{,}7, portanto 84 está muito perto da média.

Resposta

(a) \approx 0{,}863 (ou 86{,}3\%).
(b) \approx 2967\\ \mathrm{kg}.
(c) \approx 0{,}533 (ou 53{,}3\%).

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