Sabe-se que
dos habitantes de uma cidade foram vacinados contra a gripe “H1N1”. Qual é a probabilidade de que uma amostra aleatória de 100 habitantes desta cidade apresentar proporção de vacinados:
c) Abaixo de
c) Abaixo de
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma probabilidade:
- Proporção verdadeira de vacinados na cidade:
. - Tamanho da amostra:
. - Pergunta: qual a probabilidade de que a proporção observada na amostra seja abaixo de
? Ou seja, queremos .
Passo 2
Vamos entender o que significa a variável aleatória que nos interessa e qual distribuição podemos usar. Definimos
como a proporção amostral de vacinados na amostra de tamanho
. Quando amostramos com tamanho grande, a distribuição de
se aproxima de uma distribuição normal com média igual à verdadeira proporção e variância igual a
. Em símbolos:
Aqui:
-
é a proporção real na população (aqui ); -
é o tamanho da amostra (aqui ); - a condição para usar essa aproximação é que
e sejam razoavelmente grandes. No nosso caso e , ambos maiores que 5, logo a aproximação é válida.
Passo 3
Calculemos a média e o desvio-padrão (erro padrão) de
.
A média é .
O desvio-padrão (erro padrão) é
A média é
O desvio-padrão (erro padrão) é
Agora calculemos este valor passo a passo:
Portanto
.
Passo 4
Padronizamos a variável para usar a tabela da normal padrão. O escore
correspondente a
é
Isso significa que
está
desvios-padrão abaixo da média.
Passo 5
A probabilidade pedida é
onde
é uma normal padrão
. Usando a simetria da normal e tabelas/valores conhecidos:
Da tabela da normal padrão temos
. Portanto
Arredondando, a probabilidade é aproximadamente
, ou seja cerca de
.
Passo 6
Interpretação final rápida e um incentivo: isso quer dizer que, mesmo que a taxa verdadeira seja
, observar numa amostra de
pessoas uma proporção menor que
é raro — acontece em cerca de
das amostras. Você foi bem — o processo foi: identificar parâmetros, calcular erro padrão, padronizar e usar a normal padrão. Se quiser, repetimos com outro limite para treinar.