Sabe-se que 80 \% dos habitantes de uma cidade foram vacinados contra a gripe “H1N1”. Qual é a probabilidade de que uma amostra aleatória de 100 habitantes desta cidade apresentar proporção de vacinados:
c) Abaixo de 74 \%.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma probabilidade:
  • Proporção verdadeira de vacinados na cidade: \,0,80.
  • Tamanho da amostra: \,100.
  • Pergunta: qual a probabilidade de que a proporção observada na amostra seja abaixo de \,0,74? Ou seja, queremos \,P\big(\widehat{p}<0,74\big).

Passo 2

Vamos entender o que significa a variável aleatória que nos interessa e qual distribuição podemos usar. Definimos \widehat{p} como a proporção amostral de vacinados na amostra de tamanho \,n=100. Quando amostramos com tamanho grande, a distribuição de \widehat{p} se aproxima de uma distribuição normal com média igual à verdadeira proporção e variância igual a \dfrac{p(1-p)}{n}. Em símbolos:
\widehat{p}\approx N\!\left(p,\;\frac{p(1-p)}{n}\right).
Aqui:
  • \,p é a proporção real na população (aqui \,p=0,80);
  • \,n é o tamanho da amostra (aqui \,n=100);
  • a condição para usar essa aproximação é que \,np e \,n(1-p) sejam razoavelmente grandes. No nosso caso \,np=100\cdot0,8=80 e \,n(1-p)=20, ambos maiores que 5, logo a aproximação é válida.

Passo 3

Calculemos a média e o desvio-padrão (erro padrão) de \widehat{p}.
A média é \,E(\widehat{p})=p=0,80.
O desvio-padrão (erro padrão) é
\sigma_{\widehat{p}}=\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}=\sqrt{\frac{0,8\cdot 0,2}{100}}.
Agora calculemos este valor passo a passo:
0,8\cdot 0,2 = 0,16,
\frac{0,16}{100}=0,0016,
\sqrt{0,0016}=0,04.
Portanto \,\sigma_{\widehat{p}=0,04}.

Passo 4

Padronizamos a variável para usar a tabela da normal padrão. O escore z correspondente a \widehat{p}=0,74 é
z=\frac{0,74-0,80}{0,04}=\frac{-0,06}{0,04}=-1,5.
Isso significa que \,0,74 está 1,5 desvios-padrão abaixo da média.

Passo 5

A probabilidade pedida é
P\big(\widehat{p}<0,74\big)=P\big(Z< -1,5\big),
onde Z é uma normal padrão N(0,1). Usando a simetria da normal e tabelas/valores conhecidos:
P(Z<-1,5)=\Phi(-1,5)=1-\Phi(1,5).
Da tabela da normal padrão temos \Phi(1,5)\approx 0,93319. Portanto
\Phi(-1,5)\approx 1-0,93319=0,06681.
Arredondando, a probabilidade é aproximadamente \,0,0668, ou seja cerca de \,6,68\%.

Passo 6

Interpretação final rápida e um incentivo: isso quer dizer que, mesmo que a taxa verdadeira seja 80\%, observar numa amostra de 100 pessoas uma proporção menor que 74\% é raro — acontece em cerca de 6,7\% das amostras. Você foi bem — o processo foi: identificar parâmetros, calcular erro padrão, padronizar e usar a normal padrão. Se quiser, repetimos com outro limite para treinar.

Resposta

0,0668
6,68\%

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