Uma variável aleatória X é normalmente distribuída com média 60 e variância 64. Determinar:
P(|X-60| \leq 5) \cdot R=0,52869

Passo 1

O enunciado pede para calcular a probabilidade
P(|X-60|\leq 5)
onde nos é dado que X é normalmente distribuída com média 60 e variância 64. Informações relevantes extraídas do enunciado:
\mu=60 (média) e \operatorname{Var}(X)=64. A pergunta é apenas a probabilidade acima (o enunciado trouxe também um valor R=0,52869, que vou comparar com o resultado que obtivermos).

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicando passo a passo): para uma variável normal X com média \mu e desvio padrão \sigma, podemos padronizar usando a variável padrão Z definida por
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.
Aqui \mu é o centro da distribuição (média) e \sigma é a “largura” da distribuição (desvio padrão). Padronizar transforma a variável X numa variável Z com distribuição normal padrão \mathcal{N}(0,1) (média 0 e variância 1). A vantagem é que probabilidades para Z são tabeladas (função \Phi, a função de distribuição acumulada da normal padrão).

Passo 3

Calcular \sigma a partir da variância dada e padronizar os limites:
\sigma=\sqrt{\operatorname{Var}(X)}=\sqrt{64}=8.
Queremos
P(|X-60|\leq 5)=P(-5\leq X-60\leq 5).
Dividindo tudo por \sigma=8 (padronizando),
P\!\left(-\frac{5}{8}\leq \frac{X-60}{8}\leq \frac{5}{8}\right)=P\!\left(-0{,}625\leq Z\leq 0{,}625\right).

Passo 4

Usar simetria da normal padrão: para Z\sim\mathcal{N}(0,1) vale
P(-a\leq Z\leq a)=2\Phi(a)-1,
onde \Phi(a)=P(Z\leq a) é a função de distribuição acumulada da normal padrão. Aplicando com a=0{,}625,
P(-0{,}625\leq Z\leq 0{,}625)=2\Phi(0{,}625)-1.

Passo 5

Avaliar \Phi(0{,}625). Consultando tabela da normal padrão ou calculadora obtém-se
\Phi(0{,}625)\approx 0{,}73401447.
Portanto
P(|X-60|\leq 5)=2\cdot 0{,}73401447-1=0{,}46802894\approx 0{,}46803.

Passo 6

Interpretação e checagem: o resultado numérico que encontramos é
P(|X-60|\leq 5)\approx 0{,}46803.
Isso é diferente do valor R=0{,}52869 que o enunciado mencionou. Provavelmente R=0{,}52869 é um valor incorreto para os dados \mu=60 e \operatorname{Var}=64; o cálculo correto, feito acima pela padronização, dá aproximadamente 0{,}46803.

Resposta

0{,}46803

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