(8 pontos) A Folha de São Paulo, em 2023, divulgou um estudo que afirma que o consumo médio diário de sódio de grande parte dos adultos brasileiros é superior a 2.000 mg , valor que corresponde ao limite recomendado pela Organização Mundial da Saúde (OMS). Para verificar essa afirmação, foi realizada uma amostra aleatória de adultos brasileiros com
indivíduos, tendo sido constatado um consumo médio amostral de 2.080 mg de sódio. O desvio padrão populacional é conhecido e igual a 340 mg . Deseja-se testar, ao nível de significância de
, se os dados fornecem evidência suficiente para afirmar que o consumo médio da população é superior a 2.000 mg .
a.( 2 pontos) Formule as hipóteses estatísticas.
b.
pontos
Calcule o valor calculado ou a estatística do teste.
c. ( 2 pontos) Apresente um gráfico ilustrativo com a indicação do valor-p.
d.(2 pontos) Apresente a decisão estatística e a interpretação prática dos resultados.
a.( 2 pontos) Formule as hipóteses estatísticas.
b.
c. ( 2 pontos) Apresente um gráfico ilustrativo com a indicação do valor-p.
d.(2 pontos) Apresente a decisão estatística e a interpretação prática dos resultados.
Passo 1
O enunciado dá uma amostra aleatória de
adultos com consumo médio amostral
mg de sódio. O desvio padrão populacional é conhecido e igual a
mg. O objetivo é testar, ao nível de significância
(ou seja
), se os dados fornecem evidência de que o consumo médio populacional é superior a
mg.
Perguntas pedidas:
a) Formular as hipóteses estatísticas.
b) Calcular o valor calculado (estatística do teste).
c) Apresentar um gráfico ilustrativo indicando o valor-p.
d) Decisão estatística e interpretação prática.
a) Formular as hipóteses estatísticas.
b) Calcular o valor calculado (estatística do teste).
c) Apresentar um gráfico ilustrativo indicando o valor-p.
d) Decisão estatística e interpretação prática.
Informações relevantes listadas:
-
. -
mg. -
mg (conhecido). - Valor hipotetizado sob
: mg. -
. - Trata-se de um teste unilateral à direita (queremos verificar “maior que”).
Passo 2
Formular as hipóteses (resposta da alínea a):
Explicação didática: em testes de média, a hipótese nula
normalmente assume que o parâmetro (a média
) vale um valor específico; a hipótese alternativa descreve o interesse do pesquisador (aqui “maior que”). Não se coloca sinal de desigualdade em
porque o teste estatístico compara evidência contra essa igualdade.
As hipóteses são:
Passo 3
Calcular a estatística do teste (resposta da alínea b), com explicação passo a passo.
Fórmula do teste
(quando
é conhecido): a estatística padronizada é
onde:
-
é a média amostral ( mg aqui), -
é a média sob ( mg), -
é o desvio padrão populacional ( mg), -
é o tamanho da amostra ( ).
A razãochama-se erro padrão da média: é a variabilidade esperada da média amostral.
Cálculo do erro padrão:
Cálculo de
:
Portanto a estatística do teste é
.
Passo 4
Calcular o valor-p e comparar com
; também obter a região crítica.
Definição do valor-p (p-value) para teste unilateral à direita: é a probabilidade, sob
, de observar uma estatística
(normal padrão) igual ou mais extrema do que a observada. Para teste à direita:
onde
é a função de distribuição acumulada da normal padrão.
Usando
. Consultando tabela da normal padrão (ou interpolando):
Logo
Cálculo do quantil crítico para
(teste à direita): precisamos de
.
Como
e também
, não rejeitamos
ao nível de
.
Observação prática: embora a média amostral esteja
mg acima de
, a variabilidade (erro padrão) faz com que essa diferença não seja estatisticamente significativa ao nível estrito de
. Para referência, ao nível de
(
), como
, rejeitaríamos
a
; isto é, os dados são suficientes para concluir
a
, mas não a
.
Passo 5
Gráfico ilustrativo com indicação do valor-p (resposta da alínea c).
Explicação do gráfico: desenhamos a curva da normal padrão com média
(eixo
), marcamos o ponto
e a região à direita desse ponto é o valor-p. Também marcamos o ponto crítico
(região de rejeição para
fica à direita desse ponto).
Gráfico esquemático (ASCII) — eixo
, curva qualitativa e áreas:
altura
^
| .-''''-.
| .-' '-.
| .' '.
| .' '. z_{0.99}=2{,}3263
| / \ |
| / \ |
| / \ |
|-----*----------------------------\-*---+---> z
| z_obs=1{,}6471 \ \ |
| \ \ |
| '. '.
| '-'
|
Legenda:
- O asterisco marcado em
(aprox ) é . - A região sombreada (à direita de
) corresponde ao valor-p . - O ponto
está mais à direita e marca o limite para rejeitar a .
Interpretação do desenho: como a área à direita de
(o valor-p) é cerca de
, ela é visivelmente maior que
, então não alcançamos a região crítica para
.
Passo 6
Decisão estatística e interpretação prática (resposta da alínea d).
Decisão: Ao nível de significância
não rejeitamos
.
Interpretação prática: Com os dados da amostra (média amostral
mg,
,
mg) não há evidência estatisticamente significativa ao nível de
para afirmar que o consumo médio diário de sódio dos adultos brasileiros excede
mg. Em outras palavras, a diferença observada (80 mg acima de
) pode ser compatível com variação amostral natural quando exigimos um nível de prova mais exigente (
). Contudo, uma observação adicional: ao nível de
os mesmos dados seriam suficientes para concluir que a média é maior que
mg (porque
), o que mostra que a conclusão depende do nível de confiança desejado.
Força motivadora: esses resultados não invalidam a hipótese de que a população pode ter média acima de
mg, apenas dizem que, com este desenho de amostra e este critério rígido (
), a evidência não é forte o bastante. Para aumentar poder do teste, poderia-se aumentar
.
Resposta
a)
\n
\n
b) \n
c) (gráfico ilustrativo apresentado no Passo 5)\n
d) Não rejeitamos ao nível
. Interpretação: não há evidência suficiente ao nível de
para afirmar que a média populacional de sódio excede
mg. (Observação: ao nível
rejeitaríamos
, pois
.)
b)
c)
d) Não rejeitamos