(8 pontos) A Folha de São Paulo, em 2023, divulgou um estudo que afirma que o consumo médio diário de sódio de grande parte dos adultos brasileiros é superior a 2.000 mg , valor que corresponde ao limite recomendado pela Organização Mundial da Saúde (OMS). Para verificar essa afirmação, foi realizada uma amostra aleatória de adultos brasileiros com n=49 indivíduos, tendo sido constatado um consumo médio amostral de 2.080 mg de sódio. O desvio padrão populacional é conhecido e igual a 340 mg . Deseja-se testar, ao nível de significância de 1 \%, se os dados fornecem evidência suficiente para afirmar que o consumo médio da população é superior a 2.000 mg .
a.( 2 pontos) Formule as hipóteses estatísticas.
b. (2 pontos ) Calcule o valor calculado ou a estatística do teste.
c. ( 2 pontos) Apresente um gráfico ilustrativo com a indicação do valor-p.
d.(2 pontos) Apresente a decisão estatística e a interpretação prática dos resultados.

Passo 1

O enunciado dá uma amostra aleatória de n=49 adultos com consumo médio amostral \bar{x}=2080 mg de sódio. O desvio padrão populacional é conhecido e igual a \sigma=340 mg. O objetivo é testar, ao nível de significância \alpha=0{,}01 (ou seja 1\%), se os dados fornecem evidência de que o consumo médio populacional é superior a 2000 mg.
Perguntas pedidas:
a) Formular as hipóteses estatísticas.
b) Calcular o valor calculado (estatística do teste).
c) Apresentar um gráfico ilustrativo indicando o valor-p.
d) Decisão estatística e interpretação prática.
Informações relevantes listadas:
  • n=49.
  • \bar{x}=2080 mg.
  • \sigma=340 mg (conhecido).
  • Valor hipotetizado sob H_0: 2000 mg.
  • \alpha=0{,}01.
  • Trata-se de um teste unilateral à direita (queremos verificar “maior que”).

Passo 2

Formular as hipóteses (resposta da alínea a):
Explicação didática: em testes de média, a hipótese nula H_0 normalmente assume que o parâmetro (a média \mu) vale um valor específico; a hipótese alternativa descreve o interesse do pesquisador (aqui “maior que”). Não se coloca sinal de desigualdade em H_0 porque o teste estatístico compara evidência contra essa igualdade.
As hipóteses são:
H_0: \mu = 2000
H_1: \mu > 2000

Passo 3

Calcular a estatística do teste (resposta da alínea b), com explicação passo a passo.
Fórmula do teste z (quando \sigma é conhecido): a estatística padronizada é
z \;=\; \frac{\bar{x}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}
onde:
  • \bar{x} é a média amostral ( 2080 mg aqui),
  • \mu_0 é a média sob H_0 ( 2000 mg),
  • \sigma é o desvio padrão populacional ( 340 mg),
  • n é o tamanho da amostra ( 49).
    A razão \sigma/\sqrt{n} chama-se erro padrão da média: é a variabilidade esperada da média amostral.
Cálculo do erro padrão:
\sigma/\sqrt{n} = \frac{340}{\sqrt{49}} = \frac{340}{7} = 48{,}571428\ldots
Cálculo de z:
z = \frac{2080-2000}{340/7} = \frac{80}{340/7} = \frac{80\cdot 7}{340} = \frac{560}{340} = \frac{28}{17} \approx 1{,}6470588
Portanto a estatística do teste é \displaystyle z\approx 1{,}6471.

Passo 4

Calcular o valor-p e comparar com \alpha; também obter a região crítica.
Definição do valor-p (p-value) para teste unilateral à direita: é a probabilidade, sob H_0, de observar uma estatística Z (normal padrão) igual ou mais extrema do que a observada. Para teste à direita:
\text{p-value} = P(Z \ge z_{\text{obs}}) = 1 - \Phi(z_{\text{obs}})
onde \Phi é a função de distribuição acumulada da normal padrão.
Usando z_{\text{obs}}=1{,}6470588. Consultando tabela da normal padrão (ou interpolando):
\Phi(1{,}64706)\approx 0{,}950206
Logo
\text{p-value} = 1 - 0{,}950206 \approx 0{,}049794 \approx 0{,}0498.
Cálculo do quantil crítico para \alpha=0{,}01 (teste à direita): precisamos de z_{1-\alpha}=z_{0{,}99}.
z_{0{,}99}\approx 2{,}3263.
Como \;z_{\text{obs}}\approx 1{,}6471 < z_{0{,}99}\approx 2{,}3263\; e também \text{p-value}\approx 0{,}0498 > \alpha=0{,}01, não rejeitamos H_0 ao nível de 1\%.
Observação prática: embora a média amostral esteja 80 mg acima de 2000, a variabilidade (erro padrão) faz com que essa diferença não seja estatisticamente significativa ao nível estrito de 1\%. Para referência, ao nível de 5\% ( \alpha=0{,}05), como \text{p-value}\approx 0{,}0498<0{,}05, rejeitaríamos H_0 a 5\%; isto é, os dados são suficientes para concluir \mu>2000 a 5\%, mas não a 1\%.

Passo 5

Gráfico ilustrativo com indicação do valor-p (resposta da alínea c).
Explicação do gráfico: desenhamos a curva da normal padrão com média 0 (eixo z), marcamos o ponto z_{\text{obs}}\approx 1{,}6471 e a região à direita desse ponto é o valor-p. Também marcamos o ponto crítico z_{0{,}99}\approx 2{,}3263 (região de rejeição para \alpha=0{,}01 fica à direita desse ponto).
Gráfico esquemático (ASCII) — eixo z, curva qualitativa e áreas:
            altura
              ^
              |                 .-''''-.
              |              .-'        '-.
              |            .'              '.
              |          .'                  '.        z_{0.99}=2{,}3263
              |         /                      \       |
              |        /                        \      |
              |       /                          \     |
              |-----*----------------------------\-*---+---> z
              |     z_obs=1{,}6471                \  \  |
              |                                     \  \ |
              |                                      '. '.
              |                                        '-'
              |
Legenda:
  • O asterisco marcado em z (aprox 1{,}6471) é z_{\text{obs}}.
  • A região sombreada (à direita de z_{\text{obs}}) corresponde ao valor-p \approx 0{,}0498.
  • O ponto z_{0{,}99}\approx 2{,}3263 está mais à direita e marca o limite para rejeitar H_0 a 1\%.
Interpretação do desenho: como a área à direita de z_{\text{obs}} (o valor-p) é cerca de 4{,}98\%, ela é visivelmente maior que 1\%, então não alcançamos a região crítica para \alpha=0{,}01.

Passo 6

Decisão estatística e interpretação prática (resposta da alínea d).
Decisão: Ao nível de significância \alpha=0{,}01 não rejeitamos H_0.
Interpretação prática: Com os dados da amostra (média amostral 2080 mg, n=49, \sigma=340 mg) não há evidência estatisticamente significativa ao nível de 1\% para afirmar que o consumo médio diário de sódio dos adultos brasileiros excede 2000 mg. Em outras palavras, a diferença observada (80 mg acima de 2000) pode ser compatível com variação amostral natural quando exigimos um nível de prova mais exigente ( 1\%). Contudo, uma observação adicional: ao nível de 5\% os mesmos dados seriam suficientes para concluir que a média é maior que 2000 mg (porque \text{p-value}\approx 0{,}0498<0{,}05), o que mostra que a conclusão depende do nível de confiança desejado.
Força motivadora: esses resultados não invalidam a hipótese de que a população pode ter média acima de 2000 mg, apenas dizem que, com este desenho de amostra e este critério rígido ( 1\%), a evidência não é forte o bastante. Para aumentar poder do teste, poderia-se aumentar n.

Resposta

a) H_0: \mu = 2000\n H_1: \mu > 2000\n
b) z = \dfrac{\bar{x}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} = \dfrac{2080-2000}{340/7} = \dfrac{28}{17} \approx 1{,}6471\n
c) \text{p-value} \approx 0{,}0498 (gráfico ilustrativo apresentado no Passo 5)\n
d) Não rejeitamos H_0 ao nível \alpha=0{,}01. Interpretação: não há evidência suficiente ao nível de 1\% para afirmar que a média populacional de sódio excede 2000 mg. (Observação: ao nível 5\% rejeitaríamos H_0, pois 0{,}0498<0{,}05.)

Exercícios relacionados