Uma agência de publicidade lançou três tipos distintos de campanhas publicitárias ( \mathrm{A}, \mathrm{B} e C ) para um novo produto. Após as campanhas, eles coletaram dados de uma amostra de 400 consumidores para verificar se o tipo de campanha influenciou a decisão de compra (comprou ou não comprou o produto). A tabela a seguir mostra a distribuição dos consumidores em relação à campanha que foram expostos e sua decisão de compra.
Campanhas
Decisão de compra A B C Total
Comprou 70 50 80 200
Não comprou 30 50 120 200
Total 100 100 200 400
Considere um nível de significância de 5 \% e realize um teste de hipóteses para decidir se o tipo de campanha publicitária e a decisão de compra do consumidor devem ser considerados como independentes.

Passo 1

O que o problema pede: testarmos, com nível de significância de 5\%, se o tipo de campanha publicitária (A, B ou C) e a decisão de compra do consumidor (comprou ou não comprou) são independentes ou não.
Dados fornecidos (peguei os números da tabela do enunciado):
\begin{array}{c|ccc|c} \text{Decisão / Campanha} & A & B & C & \text{Total} \\hline \text{Comprou} & 70 & 50 & 80 & 200 \\\ \text{Não comprou} & 30 & 50 & 120 & 200 \\hline \text{Total} & 100 & 100 & 200 & 400 \end{array}ãã
Portanto: total da amostra \,=400, totais de linhas e colunas conforme a tabela acima.

Passo 2

Escolha do método (explicando de maneira simples e por que uso ele):
Temos uma tabela de contingência com contagens absolutas em duas categorias (decisão: 2 níveis) e três colunas (campanha: 3 níveis). O teste padrão para verificar independência entre duas variáveis categóricas é o teste qui‑quadrado de independência. Vou usá‑lo porque a tabela tem contagens absolutas e os totais marginais são conhecidos; é o método mais direto e ensinado para esse tipo de questão em provas.
Antes de aplicar, verificamos a condição prática: o teste qui‑quadrado exige que as frequências esperadas em cada célula não sejam muito pequenas (regra prática: todas ≥ 5). Vou calcular as frequências esperadas e checar isso.

Passo 3

Hipóteses (escritas formalmente):
H_0:\\ \text{tipo de campanha e decisão de compra são independentes}ãã
H_1:\\ \text{tipo de campanha e decisão de compra não são independentes}ããã
Nível de significância: \alpha=0,05.

Passo 4

Fórmula das frequências esperadas e interpretação: para cada célula da tabela, a frequência esperada é
E_{ij}=\frac{(\text{total da linha }i)\times(\text{total da coluna }j)}{\text{total geral}}.
Aqui E_{ij} é a frequência esperada na célula da linha i e coluna j. Vou calcular cada uma usando os totais da tabela (peguei os totais da tabela do enunciado).
Cálculos das esperadas:
E_{\text{Comprou},A}=\frac{200\times 100}{400}=50
E_{\text{Comprou},B}=\frac{200\times 100}{400}=50
E_{\text{Comprou},C}=\frac{200\times 200}{400}=100
E_{\text{Não},A}=\frac{200\times 100}{400}=50ã
E_{\text{Não},B}=\frac{200\times 100}{400}=50ã
E_{\text{Não},C}=\frac{200\times 200}{400}=100ã

Passo 5

Verificação das condições do teste: todas as frequências esperadas calculadas são \,50,50,100,50,50,100, todas maiores que 5. Logo, a aplicação do teste qui‑quadrado é adequada.

Passo 6

Fórmula da estatística do teste e interpretação: a estatística qui‑quadrado é
\chi^2=\sum_{\text{todas as células}}\frac{(O_{ij}-E_{ij})^2}{E_{ij}},é
onde O_{ij} é a frequência observada e E_{ij} a esperada. Vou calcular contribuição a contribuição (pegando O_{ij} da tabela do enunciado):
Para a célula (Comprou, A): O=70, E=50
\frac{(70-50)^2}{50}=\frac{20^2}{50}=\frac{400}{50}=8
Para (Comprou, B): O=50, E=50
\frac{(50-50)^2}{50}=0
Para (Comprou, C): O=80, E=100
\frac{(80-100)^2}{100}=\frac{(-20)^2}{100}=\frac{400}{100}=4
Para (Não, A): O=30, E=50
\frac{(30-50)^2}{50}=\frac{(-20)^2}{50}=\frac{400}{50}=8
Para (Não, B): O=50, E=50
0
Para (Não, C): O=120, E=100
\frac{(120-100)^2}{100}=\frac{20^2}{100}=\frac{400}{100}=4
Somando todas as contribuições:
\chi^2 = 8 + 0 + 4 + 8 + 0 + 4 = 24.

Passo 7

Graus de liberdade e comparação com critério: os graus de liberdade para uma tabela r\times c são
\text{gl}=(r-1)(c-1).
Aqui r=2 (comprou / não) e c=3 (A, B, C), então
\text{gl}=(2-1)(3-1)=1\cdot 2=2.
Valor crítico para \alpha=0,05 e \text{gl}=2 (tabela da qui‑quadrado) é aproximadamente
\chi^2_{0,95;2}\approx 5,991.
Nossa estatística calculada \chi^2=24 é muito maior que 5,991, portanto rejeitamos H_0.
Cálculo do valor-p (curiosidade matemática e para afirmar força da evidência): para \text{gl}=2 a função de sobrevivência é P(\chi^2_2\ge x)=e^{-x/2}. Assim
p\text{-valor}=e^{-24/2}=e^{-12}\approx 6,14\times 10^{-6}.
Esse p‑valor é muito menor que 0,05, reforçando a rejeição de H_0.

Passo 8

Interpretação final e incentivo: com as evidências (estatística \chi^2=24, \text{gl}=2, p\approx 6,14\times 10^{-6}), rejeitamos a hipótese de independência. Em linguagem simples: os dados mostram associação entre o tipo de campanha (A, B ou C) e a decisão de compra — ou seja, o tipo de campanha parece influenciar a probabilidade de um consumidor comprar o produto. Excelente — você conseguiu! Mesmo com pouco tempo, esse tipo de teste é direto: monta a tabela, calcula esperadas, soma as contribuições e compara com o valor crítico.

Resposta

Rejeita H_0. Estatística de teste \chi^2=24, graus de liberdade =2, p\approx 6,14\times 10^{-6}. Conclusão: há evidência de associação entre tipo de campanha e decisão de compra.

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