4-(2,0 pontos) Em um processo de cementação sólida de uma peça de aço SAE 8620,
, o forno foi colocado a uma temperatura de
com uma concentração de carbono na superfície externa da peça é de
. Qual deve ser a concentração de
carbono a
de profundidade após 7 horas de tratamento de cementação. Sabe-se que o coeficiente de difusão do carbono no ferro nessa temperatura é de
carbono a
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados fornecidos:
- Concentração inicial do aço:
. - Concentração na superfície durante a cementação:
. - Temperatura do forno:
(informação usada indiretamente, já que o coeficiente de difusão é dado para essa temperatura). - Coeficiente de difusão do carbono no ferro a essa temperatura:
. - Profundidade em que se quer saber a concentração:
. - Tempo de tratamento:
.
- Concentração inicial do aço:
-
O que o enunciado pede:
- Determinar a concentração de carbono a
de profundidade após de cementação, dado o restante dos valores acima.
- Determinar a concentração de carbono a
Passo 2
Qual equação usar e por quê (explicação didática do modelo usado).
-
Aqui se assume que a peça pode ser tratada como um semi-espaço (espessura grande em relação à penetração) e que a superfície é mantida com concentração constante
durante o processo. Nessas condições o problema tem solução analítica clássica envolvendo a função erro complementar . -
A solução para a concentração
em um semi-espaço, com concentração inicial uniforme e concentração superficial mantida constante , é:
Explicando cada termo:
-
é a concentração no ponto a profundidade no tempo . -
é a concentração inicial no volume. -
é a concentração imposta na superfície ( ). -
é o coeficiente de difusão (unidade ). - A função
é a função erro complementar; tem a propriedade (logo em a fórmula dá ) e (larga profundidade volta a ).
Passo 3
Converter unidades e preparar os valores numéricos (passo a passo).
- Converter profundidade para metros:
- Converter tempo para segundos:
- Relembrando
.
Passo 4
Calcular
(detalhar contas).
- Primeiro
:
- Agora a raiz:
- Portanto
(Explanação curta:
tem dimensão de comprimento e indica a ordem de grandeza da profundidade de penetração em tempo
.)
Passo 5
Calcular o argumento da função
:
- Substituindo os valores:
Passo 6
Avaliar
numericamente (explicando como calcular sem tabela pronta).
- A
está ligada à função erro por . Para avaliar de forma prática pode-se usar a aproximação de Abramowitz–Stegun (muito usada em provas quando não há calculadora com função erfc). A aproximação é:
onde
com constantes
- Aplicando com
: - Primeiro
, então . - Calcular
: - Calcular
:
- Primeiro
- Calcular
: com tem-se . - Logo
. - Assim
e
(Observação: este procedimento fornece
, precisão suficiente para fins de engenharia e para uma prova.)
Passo 7
Calcular
substituindo tudo na fórmula e obter o valor final.
- Relembrando a fórmula:
- Substituindo
, e : - Diferença de concentrações:
. - Produto:
. - Somando
:
- Diferença de concentrações:
- Arredondando para duas casas decimais como é comum em concentrações:
Passo 8
Comentário final curto e motivador.
- Resultado aproximado:
a após . Está pronto para anotar na prova — eu sei que parece muita conta, mas seguir passo a passo (converter unidades, calcular , formar o argumento , avaliar e aplicar a fórmula) resolve problemas desse tipo de forma repetível. Vai dar certo!