4-(2,0 pontos) Em um processo de cementação sólida de uma peça de aço SAE 8620, 0,20 \% \mathrm{C}, o forno foi colocado a uma temperatura de 980^{\circ} \mathrm{C} com uma concentração de carbono na superfície externa da peça é de 2,5 \% \mathrm{C}. Qual deve ser a concentração de
carbono a 0,7 \mathrm{~mm} de profundidade após 7 horas de tratamento de cementação. Sabe-se que o coeficiente de difusão do carbono no ferro nessa temperatura é de 1,6 \times 10^{-11} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Concentração inicial do aço: C_0 = 0{,}20\%\\ \mathrm{C}.
    • Concentração na superfície durante a cementação: C_s = 2{,}5\%\\ \mathrm{C}.
    • Temperatura do forno: 980^\circ\mathrm{C} (informação usada indiretamente, já que o coeficiente de difusão é dado para essa temperatura).
    • Coeficiente de difusão do carbono no ferro a essa temperatura: D = 1{,}6\times10^{-11}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}.
    • Profundidade em que se quer saber a concentração: x = 0{,}7\\ \mathrm{mm}.
    • Tempo de tratamento: t = 7\\ \mathrm{h}.
  • O que o enunciado pede:
    • Determinar a concentração de carbono a x = 0{,}7\\ \mathrm{mm} de profundidade após t = 7\\ \mathrm{h} de cementação, dado o restante dos valores acima.

Passo 2

Qual equação usar e por quê (explicação didática do modelo usado).
  • Aqui se assume que a peça pode ser tratada como um semi-espaço (espessura grande em relação à penetração) e que a superfície é mantida com concentração constante C_s durante o processo. Nessas condições o problema tem solução analítica clássica envolvendo a função erro complementar \mathrm{erfc}.
  • A solução para a concentração C(x,t) em um semi-espaço, com concentração inicial uniforme C_0 e concentração superficial mantida constante C_s, é:
C(x,t)=C_0+\bigl(C_s-C_0\bigr)\,\mathrm{erfc}\!\left(\dfrac{x}{2\sqrt{D\,t}}\right).
Explicando cada termo:
  • C(x,t) é a concentração no ponto a profundidade x no tempo t.
  • C_0 é a concentração inicial no volume.
  • C_s é a concentração imposta na superfície ( x=0).
  • D é o coeficiente de difusão (unidade \mathrm{m}^2/\mathrm{s}).
  • A função \mathrm{erfc}(u) é a função erro complementar; tem a propriedade \mathrm{erfc}(0)=1 (logo em x=0 a fórmula dá C=C_s) e \mathrm{erfc}(+\infty)=0 (larga profundidade volta a C_0).

Passo 3

Converter unidades e preparar os valores numéricos (passo a passo).
  • Converter profundidade para metros:
x = 0{,}7\\ \mathrm{mm} = 0{,}7\times10^{-3}\\ \mathrm{m} = 7{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.
  • Converter tempo para segundos:
t = 7\\ \mathrm{h} = 7\times3600\\ \mathrm{s} = 25200\\ \mathrm{s}.
  • Relembrando D = 1{,}6\times10^{-11}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}.

Passo 4

Calcular 2\sqrt{D\,t} (detalhar contas).
  • Primeiro D\,t:
D\,t = 1{,}6\times10^{-11}\times25200 = 4{,}032\times10^{-7}\\ \mathrm{m}^2.
  • Agora a raiz:
\sqrt{D\,t}=\sqrt{4{,}032\times10^{-7}} \approx 6{,}34985\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.
  • Portanto
2\sqrt{D\,t}\approx 2\times6{,}34985\times10^{-4}=1{,}26997\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
(Explanação curta: \sqrt{D\,t} tem dimensão de comprimento e indica a ordem de grandeza da profundidade de penetração em tempo t.)

Passo 5

Calcular o argumento da função \mathrm{erfc}:
z=\dfrac{x}{2\sqrt{D\,t}}.
  • Substituindo os valores:
z=\dfrac{7{,}0\times10^{-4}}{1{,}26997\times10^{-3}}\approx 0{,}5516.

Passo 6

Avaliar \mathrm{erfc}(z) numericamente (explicando como calcular sem tabela pronta).
  • A \mathrm{erfc} está ligada à função erro \mathrm{erf} por \mathrm{erfc}(z)=1-\mathrm{erf}(z). Para avaliar \mathrm{erf}(z) de forma prática pode-se usar a aproximação de Abramowitz–Stegun (muito usada em provas quando não há calculadora com função erfc). A aproximação é:
\mathrm{erf}(z)\approx 1 - P(z)\,e^{-z^2},
onde
P(z)=a_1 t + a_2 t^2 + a_3 t^3 + a_4 t^4 + a_5 t^5, \qquad t=\dfrac{1}{1+p z},
com constantes
p=0{,}3275911,\quad a_1=0{,}254829592,\quad a_2=-0{,}284496736,\quad a_3=1{,}421413741,
a_4=-1{,}453152027,\quad a_5=1{,}061405429.
  • Aplicando com z=0{,}5516:
    • Primeiro p z \approx 0{,}3275911\times0{,}5516 \approx 0{,}18070, então t\approx 1/(1+0{,}18070)\approx 0{,}84698.
    • Calcular t, t^2, t^3, t^4, t^5: t\approx0{,}84698,\quad t^2\approx0{,}7174,\quad t^3\approx0{,}6076,\quad t^4\approx0{,}5149,\quad t^5\approx0{,}4362.
    • Calcular P(z): P(z)\approx 0{,}254829592\cdot0{,}84698 -0{,}284496736\cdot0{,}7174
\qquad\quad +1{,}421413741\cdot0{,}6076 -1{,}453152027\cdot0{,}5149 +1{,}061405429\cdot0{,}4362
P(z)\approx 0{,}2158 -0{,}2041 +0{,}8638 -0{,}7489 +0{,}4630 \approx 0{,}5896.
  • Calcular e^{-z^2}: com z^2\approx0{,}30427 tem-se e^{-z^2}\approx e^{-0{,}30427}\approx 0{,}7376.
  • Logo P(z)\,e^{-z^2}\approx 0{,}5896\times0{,}7376\approx 0{,}4349.
  • Assim \mathrm{erf}(z)\approx 1-0{,}4349=0{,}5651 e \mathrm{erfc}(z)=1-\mathrm{erf}(z)\approx 0{,}4349.
(Observação: este procedimento fornece \mathrm{erfc}(0{,}5516)\approx0{,}435, precisão suficiente para fins de engenharia e para uma prova.)

Passo 7

Calcular C(x,t) substituindo tudo na fórmula e obter o valor final.
  • Relembrando a fórmula:
C(x,t)=C_0+\bigl(C_s-C_0\bigr)\,\mathrm{erfc}\!\left(\dfrac{x}{2\sqrt{D\,t}}\right).
  • Substituindo C_0=0{,}20\%, C_s=2{,}5\% e \mathrm{erfc}(z)\approx0{,}4349:
    • Diferença de concentrações: C_s-C_0 = 2{,}5 - 0{,}20 = 2{,}30\%.
    • Produto: (C_s-C_0)\,\mathrm{erfc}(z) \approx 2{,}30\times0{,}4349 \approx 1{,}0003\%.
    • Somando C_0:
C(x=0{,}7\\ \mathrm{mm},\,t=7\\ \mathrm{h}) \approx 0{,}20\% + 1{,}0003\% \approx 1{,}2003\%.
  • Arredondando para duas casas decimais como é comum em concentrações:
C\approx 1{,}20\%\\ \mathrm{C}.

Passo 8

Comentário final curto e motivador.
  • Resultado aproximado: 1{,}20\%\\ \mathrm{C} a 0{,}7\\ \mathrm{mm} após 7\\ \mathrm{h}. Está pronto para anotar na prova — eu sei que parece muita conta, mas seguir passo a passo (converter unidades, calcular \sqrt{Dt}, formar o argumento z, avaliar \mathrm{erfc} e aplicar a fórmula) resolve problemas desse tipo de forma repetível. Vai dar certo!

Resposta

1{,}20\%\\ \mathrm{C}

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