Uma variável aleatória
tem distribuição normal, com média
e variância
.
b) Se selecionarmos uma amostra de 36 elementos dessa população, qual é a probabilidade de que a média amostral seja superior a 32 ? Resposta:
b) Se selecionarmos uma amostra de 36 elementos dessa população, qual é a probabilidade de que a média amostral seja superior a 32 ? Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma variável aleatória $ X $ que segue uma distribuição normal com média $ \mu = 30 $ e variância $ \sigma^{2} = 100 $. A pergunta é: se pegarmos uma amostra de 36 elementos dessa população, qual a probabilidade de que a média dessa amostra seja maior que 32? Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a distribuição da média amostral e usar conceitos de distribuição normal.
Passo 2
Primeiro, como temos uma amostra de 36 elementos, a média amostral $ \bar{X} $ também segue uma distribuição normal. A média dessa distribuição é a mesma da população, ou seja, $ \mu_{\bar{X}} = \mu = 30 $.
Passo 3
Agora, precisamos calcular o desvio padrão da média amostral, que é chamado de erro padrão da média. Ele é calculado pela fórmula:
Onde $ \sigma = \sqrt{100} = 10 $ e $ n = 36 $. Então:
Passo 4
Com a média amostral $ \mu_{\bar{X}} = 30 $ e o erro padrão $ \sigma_{\bar{X}} \approx 1,6667 $, queremos encontrar a probabilidade de $ \bar{X} > 32 $. Para isso, vamos padronizar esse valor usando o escore Z:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar a probabilidade de $ Z > 1,2 $ na tabela da distribuição normal padrão. A tabela nos dá a probabilidade de $ Z $ ser menor que um valor específico. A probabilidade de $ Z > 1,2 $ é:
Consultando a tabela, $ P(Z \leq 1,2) \approx 0,8849 $. Então:
Resposta
A probabilidade de que a média amostral seja superior a 32 é de aproximadamente $ 0,1151 $ ou $ 11,51% $.