Deseja-se estimar a resistência média de um certo tipo de fibra usada na fabricação de um tecido. Uma amostra aleatória de 40 espécimes da fibra tem uma resistência média de 12,4. Se a variância da população é conhecida e igual a 4,41, determine um intervalo de confiança de
para o valor da média populacional. Resposta: [11,75; 13,05]
Passo 1
Aqui, a gente quer descobrir qual é a resistência média de uma fibra usada para fazer tecido. Pra isso, vamos usar estatística, mais especificamente, um intervalo de confiança para estimar essa média. A gente tem uma amostra com 40 fibras, com resistência média de 12,4, e sabe que a variância da população é 4,41. Nosso objetivo é calcular um intervalo de confiança de 95% para a média verdadeira da resistência da fibra.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a fórmula do intervalo de confiança para a média quando a variância da população é conhecida. A fórmula é:
Onde:
-
é a média da amostra (12,4) -
é o valor crítico da distribuição normal para o nível de confiança desejado (95%) -
é o desvio padrão da população (a raiz quadrada da variância, então ) -
é o tamanho da amostra (40)
Passo 3
Para um nível de confiança de 95%, o valor crítico
é aproximadamente 1,96. Esse valor vem da tabela da distribuição normal padrão e representa a quantidade de desvios padrão que abrangem 95% da distribuição.
Passo 4
Agora, vamos calcular o erro padrão da média, que é
:
Passo 5
Em seguida, multiplicamos o valor crítico pelo erro padrão:
Passo 6
Finalmente, construímos o intervalo de confiança adicionando e subtraindo esse valor da média da amostra:
Resposta
O intervalo de confiança de
para a média populacional da resistência da fibra é
.