Deseja-se estimar a resistência média de um certo tipo de fibra usada na fabricação de um tecido. Uma amostra aleatória de 40 espécimes da fibra tem uma resistência média de 12,4. Se a variância da população é conhecida e igual a 4,41, determine um intervalo de confiança de 95 % para o valor da média populacional. Resposta: [11,75; 13,05]

Passo 1

Aqui, a gente quer descobrir qual é a resistência média de uma fibra usada para fazer tecido. Pra isso, vamos usar estatística, mais especificamente, um intervalo de confiança para estimar essa média. A gente tem uma amostra com 40 fibras, com resistência média de 12,4, e sabe que a variância da população é 4,41. Nosso objetivo é calcular um intervalo de confiança de 95% para a média verdadeira da resistência da fibra.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a fórmula do intervalo de confiança para a média quando a variância da população é conhecida. A fórmula é:
barx pm Zalpha2 times sigmaraizn
Onde:
  • barx é a média da amostra (12,4)
  • Zalpha2 é o valor crítico da distribuição normal para o nível de confiança desejado (95%)
  • sigma é o desvio padrão da população (a raiz quadrada da variância, então raiz4,41 = 2,10)
  • n é o tamanho da amostra (40)

Passo 3

Para um nível de confiança de 95%, o valor crítico Zalpha2 é aproximadamente 1,96. Esse valor vem da tabela da distribuição normal padrão e representa a quantidade de desvios padrão que abrangem 95% da distribuição.

Passo 4

Agora, vamos calcular o erro padrão da média, que é sigmaraizn:
2,10raiz40 approx 2,106,32 approx 0,33

Passo 5

Em seguida, multiplicamos o valor crítico pelo erro padrão:
1,96 times 0,33 approx 0,65

Passo 6

Finalmente, construímos o intervalo de confiança adicionando e subtraindo esse valor da média da amostra:
12,4 - 0,65 = 11,75
12,4 + 0,65 = 13,05

Resposta

O intervalo de confiança de 95% para a média populacional da resistência da fibra é [11,75; 13,05].

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