4-) Uma variável aleatória U tem distribuição uniforme contínua no intervalo [\alpha, \beta]. Sabe-se que a média de U é 1 e a variância é 1/12. Qual o valor de k, tal que P(X>k)=0,25 ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e perguntas:
  • Temos uma variável aleatória U com distribuição uniforme contínua no intervalo [\alpha,\beta].
  • Sabe-se que a média de U é 1, ou seja \mathbb{E}[U]=1.
  • Sabe-se que a variância de U é 1/12, ou seja \operatorname{Var}(U)=1/12.
  • A pergunta: encontre o valor de k tal que P(X>k)=0,25. Aqui o enunciado usa X nessa probabilidade; vou entender que é a mesma variável uniforme U (ou seja X=U).
Nenhuma outra informação foi dada.

Passo 2

Vamos lembrar e deduzir as fórmulas úteis para a distribuição uniforme contínua em [[\alpha,\beta]).
A densidade de probabilidade de X\sim Uniforme [\alpha,\beta] é
f_X(x)=\begin{cases} \displaystyle \frac{1}{\beta-\alpha}, & \alpha\le x\le\beta,\\[6pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}á
A esperança (média) de X\] é a integral do produto \(x\cdot f_X(x):
\mathbb{E}[X]=\int_{\alpha}^{\beta} x\cdot\frac{1}{\beta-\alpha}\,dx =\frac{1}{\beta-\alpha}\left[\frac{x^2}{2}\right]_{\alpha}^{\beta} =\frac{1}{\beta-\alpha}\cdot\frac{\beta^2-\alpha^2}{2} =\frac{\alpha+\beta}{2}.
Aqui cada símbolo significa:
  • \alpha,\beta são os extremos do intervalo;
  • \mathbb{E}[X] é a média.
A variância é \operatorname{Var}(X)=\mathbb{E}[X^2]-\mathbb{E}[X]^2. Primeiro calculamos \mathbb{E}[X^2]:
\mathbb{E}[X^2]=\int_{\alpha}^{\beta} x^2\cdot\frac{1}{\beta-\alpha}\,dx =\frac{1}{\beta-\alpha}\left[\frac{x^3}{3}\right]_{\alpha}^{\beta} =\frac{\beta^3-\alpha^3}{3(\beta-\alpha)}.
Fatorando \beta^3-\alpha^3=(\beta-\alpha)(\beta^2+\alpha\beta+\alpha^2) obtemos
\mathbb{E}[X^2]=\frac{\beta^2+\alpha\beta+\alpha^2}{3}.
Portanto
\operatorname{Var}(X)=\mathbb{E}[X^2]-\mathbb{E}[X]^2 =\frac{\beta^2+\alpha\beta+\alpha^2}{3}-\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)^2 =\frac{(\beta-\alpha)^2}{12}.
Essa última forma é a fórmula padrão: a variância da uniforme é \displaystyle \frac{(\beta-\alpha)^2}{12}.]

Passo 3

Agora usamos os dados do enunciado nas fórmulas:
Da média \mathbb{E}[X]=1 temos
\frac{\alpha+\beta}{2}=1 \quad\Rightarrow\quad \alpha+\beta=2.
Da variância \operatorname{Var}(X)=\tfrac{1}{12} e da fórmula \operatorname{Var}(X)=\tfrac{(\beta-\alpha)^2}{12} temos
\frac{(\beta-\alpha)^2}{12}=\frac{1}{12}\quad\Rightarrow\quad (\beta-\alpha)^2=1.
Como \beta>\alpha para um intervalo não degenerado, tiramos a raiz positiva:
\beta-\alpha=1.

Passo 4

Temos agora o sistema linear
\begin{cases} \alpha+\beta=2,\\[4pt] \beta-\alpha=1. \end{cases}
Somando as duas equações:
2\beta=3 \quad\Rightarrow\quad \beta=\frac{3}{2}.
Substituindo em \alpha+\beta=2:
\alpha=2-\beta=2-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}.
Portanto o intervalo é \left[\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right]. Note que \beta-\alpha=1, consistente com o que encontramos.]

Passo 5

Agora precisamos achar k tal que P(X>k)=0,25. Para a uniforme em [\alpha,\beta] a função de distribuição acumulada (CDF) para x entre \alpha e \beta é
F_X(x)=P(X\le x)=\frac{x-\alpha}{\beta-\alpha},\qquad \alpha\le x\le\beta.
Logo
P(X>k)=1-F_X(k)=1-\frac{k-\alpha}{\beta-\alpha}.
Queremos que isso seja 0,25, então
1-\frac{k-\alpha}{\beta-\alpha}=0{,}25.
Isto implica
\frac{k-\alpha}{\beta-\alpha}=0{,}75.

Passo 6

Substituímos \alpha=\tfrac{1}{2} e \beta-\alpha=1 na equação anterior:
\frac{k-\tfrac{1}{2}}{1}=0{,}75 \quad\Rightarrow\quad k-\tfrac{1}{2}=0{,}75.
Portanto
k=\tfrac{1}{2}+0{,}75=\tfrac{1}{2}+\tfrac{3}{4}=\tfrac{5}{4}.

Passo 7

Verificação rápida (sempre bom checar): o comprimento do intervalo acima de k é \beta-k=\tfrac{3}{2}-\tfrac{5}{4}=\tfrac{6}{4}-\tfrac{5}{4}=\tfrac{1}{4}. A probabilidade P(X>k) para uniforme é esse comprimento dividido por \beta-\alpha=1, ou seja \tfrac{1}{4}=0{,}25. Conferido!

Resposta

\;k=\tfrac{5}{4}=1{,}25

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