4-) Uma variável aleatória U tem distribuição uniforme contínua no intervalo [\alpha, \beta]. Sabe-se que a média de U é 1 e a variância é 1/12. Qual o valor de k, tal que P(X>k)=0,25 ?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e perguntas:
Temos uma variável aleatória U com distribuição uniforme contínua no intervalo [\alpha,\beta].
Sabe-se que a média de U é 1, ou seja \mathbb{E}[U]=1.
Sabe-se que a variância de U é 1/12, ou seja \operatorname{Var}(U)=1/12.
A pergunta: encontre o valor de k tal que P(X>k)=0,25. Aqui o enunciado usa X nessa probabilidade; vou entender que é a mesma variável uniforme U (ou seja X=U).
Nenhuma outra informação foi dada.
Passo 2
Vamos lembrar e deduzir as fórmulas úteis para a distribuição uniforme contínua em [[\alpha,\beta]).
A densidade de probabilidade de X\sim Uniforme[\alpha,\beta] é
Verificação rápida (sempre bom checar): o comprimento do intervalo acima de k é \beta-k=\tfrac{3}{2}-\tfrac{5}{4}=\tfrac{6}{4}-\tfrac{5}{4}=\tfrac{1}{4}. A probabilidade P(X>k) para uniforme é esse comprimento dividido por \beta-\alpha=1, ou seja \tfrac{1}{4}=0{,}25. Conferido!