2-) As vendas de gasolina em um depósito de atacado acusam a média de 40.000 galões diários, com um mínimo de 30.000 galões. Supondo adequada a distribuição uniforme, determine a venda diária máxima e a porcentagem do número de dias em que a venda excede 34.000 galões.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas.
  • Informações fornecidas:
    • A venda diária mínima é \,30{,}000 galões.
    • A venda diária média (valor esperado) é \,40{,}000 galões.
    • A distribuição das vendas é assumida como uniforme (isto é, todas as quantias entre mínimo e máximo são igualmente prováveis).
  • Perguntas que precisamos responder:
    1. Determinar a venda diária máxima (o valor máximo da distribuição).
    2. Determinar a porcentagem dos dias em que a venda excede \,34{,}000 galões.

Passo 2

Vamos entender o modelo de distribuição uniforme e as fórmulas que vamos usar — devagar e com jeitinho, como na prova.
  • Definição (imagina que é uma fita onde todos os pontos entre dois limites são igualmente prováveis): se X tem distribuição uniforme no intervalo [a,b], então a função densidade de probabilidade (pdf) é constante no intervalo e zero fora. Não precisamos da pdf numérica aqui, só as fórmulas abaixo.
  • Fórmula do valor esperado (média) para a distribuição uniforme:
\mathbb{E}[X] = \frac{a+b}{2}.
Aqui a é o mínimo (o menor valor possível) e b é o máximo (o maior valor possível). A média é simplesmente o ponto médio entre a e b.
  • Fórmula para a probabilidade de exceder um certo valor x_0 dentro do intervalo [a,b]:
P(X>x_0)=\frac{b-x_0}{b-a},\quad\text{para }a\le x_0\le b.
Isso vem da razão entre o comprimento do intervalo acima de x_0 e o comprimento total do intervalo [a,b].

Passo 3

Usar a fórmula da média para achar o máximo b.
  • Sabemos que a=30{,}000 e \mathbb{E}[X]=40{,}000. Substituímos na fórmula da média:
40{,}000=\frac{30{,}000 + b}{2}.
  • Resolver passo a passo: multiplicamos os dois lados por 2:
80{,}000 = 30{,}000 + b.
  • Isolamos b subtraindo 30{,}000 dos dois lados:
b = 80{,}000 - 30{,}000 = 50{,}000.
  • Interpretação rápida: faz sentido porque o ponto médio entre \,30{,}000 e \,50{,}000 é \,40{,}000.

Passo 4

Calcular a porcentagem de dias em que a venda excede \,34{,}000 usando a fórmula da probabilidade para uniforme.
  • Temos a=30{,}000, b=50{,}000 (do passo anterior) e queremos P(X>34{,}000).
  • Aplicando a fórmula:
P(X>34{,}000)=\frac{50{,}000-34{,}000}{50{,}000-30{,}000}.
  • Calcule numerador e denominador:
50{,}000-34{,}000 = 16{,}000,\qquad 50{,}000-30{,}000 = 20{,}000.
  • Então
P(X>34{,}000)=\frac{16{,}000}{20{,}000}=\frac{16}{20}=\frac{4}{5}=0{,}8.
  • Em porcentagem isso é 0{,}8\times100\%=80\%.

Passo 5

Recapitulando de forma bem prática para a prova:
  • A máxima diária (b) foi obtida usando a média como ponto médio entre mínimo e máximo.
  • A porcentagem foi obtida calculando a razão do comprimento do intervalo acima de \,34{,}000 pelo comprimento total do intervalo [30{,}000,50{,}000].

Resposta

\text{Venda diária máxima} = 50{,}000áá galões
\text{Porcentagem dos dias com venda}>34{,}000 = 80\%

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