2-) As vendas de gasolina em um depósito de atacado acusam a média de 40.000 galões diários, com um mínimo de 30.000 galões. Supondo adequada a distribuição uniforme, determine a venda diária máxima e a porcentagem do número de dias em que a venda excede 34.000 galões.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas.
- Informações fornecidas:
- A venda diária mínima é
galões. - A venda diária média (valor esperado) é
galões. - A distribuição das vendas é assumida como uniforme (isto é, todas as quantias entre mínimo e máximo são igualmente prováveis).
- A venda diária mínima é
- Perguntas que precisamos responder:
- Determinar a venda diária máxima (o valor máximo da distribuição).
- Determinar a porcentagem dos dias em que a venda excede
galões.
Passo 2
Vamos entender o modelo de distribuição uniforme e as fórmulas que vamos usar — devagar e com jeitinho, como na prova.
- Definição (imagina que é uma fita onde todos os pontos entre dois limites são igualmente prováveis): se
tem distribuição uniforme no intervalo , então a função densidade de probabilidade (pdf) é constante no intervalo e zero fora. Não precisamos da pdf numérica aqui, só as fórmulas abaixo. - Fórmula do valor esperado (média) para a distribuição uniforme:
Aqui
é o mínimo (o menor valor possível) e
é o máximo (o maior valor possível). A média é simplesmente o ponto médio entre
e
.
- Fórmula para a probabilidade de exceder um certo valor
dentro do intervalo :
Isso vem da razão entre o comprimento do intervalo acima de
e o comprimento total do intervalo
.
Passo 3
Usar a fórmula da média para achar o máximo
.
- Sabemos que
e . Substituímos na fórmula da média:
- Resolver passo a passo: multiplicamos os dois lados por
:
- Isolamos
subtraindo dos dois lados:
- Interpretação rápida: faz sentido porque o ponto médio entre
e é .
Passo 4
Calcular a porcentagem de dias em que a venda excede
usando a fórmula da probabilidade para uniforme.
- Temos
, (do passo anterior) e queremos . - Aplicando a fórmula:
- Calcule numerador e denominador:
- Então
- Em porcentagem isso é
.
Passo 5
Recapitulando de forma bem prática para a prova:
- A máxima diária
foi obtida usando a média como ponto médio entre mínimo e máximo. - A porcentagem foi obtida calculando a razão do comprimento do intervalo acima de
pelo comprimento total do intervalo .