1-) A dureza de uma peça de cerâmica é proporcional ao tempo de queima. Suponha que se conseguiu um processo de medição dessa dureza e que a medida respectiva seja uma variável aleatória distribuída uniformemente entre 0 e 10 . Se a dureza de uma peça de cozinha deve estar no intervalo [ 5,9 ], qual é a probabilidade de uma peça escolhida ao acaso ser adequada ao uso na cozinha?

Passo 1

O enunciado informa que a dureza de uma peça é uma variável aleatória distribuída uniformemente em [0,10]. A peça é adequada para cozinha se a dureza estiver no intervalo [5,9]. A pergunta é: qual a probabilidade de uma peça escolhida ao acaso ter dureza em [5,9]?

Passo 2

Vamos entender o que significa "distribuída uniformemente em [0,10]". Para a distribuição uniforme contínua no intervalo [a,b] vale que a densidade de probabilidade é constante no intervalo e zero fora. A fórmula geral da densidade é
f(x)=\frac{1}{b-a}\quad\text{para }a\le x\le b,
e a probabilidade de X ficar num subintervalo [c,d]\subset[a,b] é a área sob a densidade entre c e d:
P(c\le X\le d)=\int_{c}^{d} f(x)\,dx.
Aqui temos a=0 e b=10, logo a densidade é
f(x)=\frac{1}{10-0}=\frac{1}{10}\quad\text{para }0\le x\le10.
Isso significa que a “altura” do retângulo do pdf é \tfrac{1}{10} e a área total do retângulo é \text{base}\times\text{altura} = 10\cdot\tfrac{1}{10}=1, como deve ser.

Passo 3

Agora calculamos a probabilidade pedida usando a integral da densidade no intervalo [5,9]:
P(5\le X\le 9)=\int_{5}^{9}\frac{1}{10}\,dx.
Como \frac{1}{10} é constante, a integral é fácil:
\int_{5}^{9}\frac{1}{10}\,dx=\frac{1}{10}\,(9-5)=\frac{4}{10}.

Passo 4

Simplificando a fração, obtemos
\frac{4}{10}=\frac{2}{5}=0,4,
ou seja 40\%. Outra forma intuitiva (sem integrar) é notar que, para a uniforme, a probabilidade é a razão entre o comprimento do subintervalo e o comprimento total do intervalo:
P(5\le X\le 9)=\frac{\text{comprimento de }[5,9]}{\text{comprimento de }[0,10]}=\frac{9-5}{10-0}=\frac{4}{10}.

Passo 5

Resumo prático: para qualquer distribuição uniforme em [a,b], a probabilidade de estar em [c,d]\subset[a,b] é (d-c)/(b-a). Aqui isso deu 0,4, ou seja 40\%. Força aí — você já entendeu a ideia e faz isso rapidinho na prova!

Resposta

0,4 (ou 40\%)

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