1-) A dureza de uma peça de cerâmica é proporcional ao tempo de queima. Suponha que se conseguiu um processo de medição dessa dureza e que a medida respectiva seja uma variável aleatória distribuída uniformemente entre 0 e 10 . Se a dureza de uma peça de cozinha deve estar no intervalo [ 5,9 ], qual é a probabilidade de uma peça escolhida ao acaso ser adequada ao uso na cozinha?
Passo 1
O enunciado informa que a dureza de uma peça é uma variável aleatória distribuída uniformemente em
. A peça é adequada para cozinha se a dureza estiver no intervalo
. A pergunta é: qual a probabilidade de uma peça escolhida ao acaso ter dureza em
?
Passo 2
Vamos entender o que significa "distribuída uniformemente em
". Para a distribuição uniforme contínua no intervalo
vale que a densidade de probabilidade é constante no intervalo e zero fora. A fórmula geral da densidade é
e a probabilidade de
ficar num subintervalo
é a área sob a densidade entre
e
:
Aqui temos
e
, logo a densidade é
Isso significa que a “altura” do retângulo do pdf é
e a área total do retângulo é
, como deve ser.
Passo 3
Agora calculamos a probabilidade pedida usando a integral da densidade no intervalo
:
Como
é constante, a integral é fácil:
Passo 4
Simplificando a fração, obtemos
ou seja
. Outra forma intuitiva (sem integrar) é notar que, para a uniforme, a probabilidade é a razão entre o comprimento do subintervalo e o comprimento total do intervalo:
Passo 5
Resumo prático: para qualquer distribuição uniforme em
, a probabilidade de estar em
é
. Aqui isso deu
, ou seja
. Força aí — você já entendeu a ideia e faz isso rapidinho na prova!