Uma variável aleatória
segue o modelo normal com média 0 e desvio padrão 1 . Determine os valores de
para que se tenha:
Passo 1
O enunciado dá que
é uma variável aleatória com distribuição normal de média
e desvio padrão
. Em símbolos:
O que se pede é encontrar os valores de
tais que
Vou listar as informações importantes que temos:
- A média é
. - O desvio padrão é
. - A probabilidade à direita de
é . - Precisamos achar o(s) valor(es) de
que satisfazem essa igualdade.
Passo 2
Entendendo o que significa
e como isso se relaciona com a função distribuição acumulada.
Para uma variável
contínua, a função distribuição acumulada (CDF) é definida por
A partir disso, a probabilidade complementar é
No problema temos
. Assim
Portanto, o problema reduz-se a encontrar o quantil
tal que
Passo 3
Usando a propriedade de simetria da normal padrão para relacionar quantis:
Da igualdade
segue também que
Outra forma útil, equivalente, é escrever (usando a simetria)
pois
. Ambas as expressões dão o mesmo resultado numérico.
Passo 4
Como calcular numericamente
. Em provas geralmente usa-se tabela da normal padrão ou calculadora estatística. Vou mostrar como obter o valor aproximado a partir da tabela da CDF
.
Da tabela da normal padrão (valores frequentemente tabelados):
Queremos
. Observamos que
está entre
e
. Fazendo interpolação linear entre
e
:
A fração do intervalo é
Multiplicando pelo passo
entre
e
obtemos o acréscimo em
:
Portanto
Passo 5
Arredondando para uma precisão usual (quatro casas decimais) obtemos
Esse é o valor de
tal que
para
. Se preferir três casas decimais:
.