Uma variável aleatória X segue o modelo normal com média 0 e desvio padrão 1 . Determine os valores de x para que se tenha:
P(X>x)=0,3

Passo 1

O enunciado dá que X é uma variável aleatória com distribuição normal de média 0 e desvio padrão 1. Em símbolos:
X \sim N(0,1).
O que se pede é encontrar os valores de x tais que
P(X>x)=0,3.
Vou listar as informações importantes que temos:
  • A média é \mu=0.
  • O desvio padrão é \sigma=1.
  • A probabilidade à direita de x é P(X>x)=0,3.
  • Precisamos achar o(s) valor(es) de x que satisfazem essa igualdade.

Passo 2

Entendendo o que significa P(X>x)=0,3 e como isso se relaciona com a função distribuição acumulada.
Para uma variável X contínua, a função distribuição acumulada (CDF) é definida por
\Phi(x)=P(X\le x).
A partir disso, a probabilidade complementar é
P(X>x)=1-\Phi(x).
No problema temos P(X>x)=0,3. Assim
1-\Phi(x)=0,3 \quad\Longrightarrow\quad \Phi(x)=1-0,3=0,7.
Portanto, o problema reduz-se a encontrar o quantil x tal que
\Phi(x)=0,7.

Passo 3

Usando a propriedade de simetria da normal padrão para relacionar quantis:
\Phi(-z)=1-\Phi(z).
Da igualdade \Phi(x)=0,7 segue também que
x=\Phi^{-1}(0,7).
Outra forma útil, equivalente, é escrever (usando a simetria)
x=-\Phi^{-1}(0,3),
pois \Phi^{-1}(1-p)=-\Phi^{-1}(p). Ambas as expressões dão o mesmo resultado numérico.

Passo 4

Como calcular numericamente \Phi^{-1}(0,7). Em provas geralmente usa-se tabela da normal padrão ou calculadora estatística. Vou mostrar como obter o valor aproximado a partir da tabela da CDF \Phi(z).
Da tabela da normal padrão (valores frequentemente tabelados):
\Phi(0,52)=0,6985,\qquad \Phi(0,53)=0,7019.
Queremos \Phi(x)=0,7000. Observamos que 0,7000 está entre 0,6985 e 0,7019. Fazendo interpolação linear entre z=0,52 e z=0,53:
\text{diferença total} = 0,7019-0,6985=0,0034,ç
\text{diferença até o alvo} = 0,7000-0,6985=0,0015.çé
A fração do intervalo é
\frac{0,0015}{0,0034}\approx0,441176.
Multiplicando pelo passo 0,01 entre 0,52 e 0,53 obtemos o acréscimo em z:
\Delta z \approx 0,01\cdot0,441176\approx0,00441176.
Portanto
x \approx 0,52+0,00441176\approx 0,52441176.

Passo 5

Arredondando para uma precisão usual (quatro casas decimais) obtemos
x\approx 0,5244.
Esse é o valor de x tal que P(X>x)=0,3 para X\sim N(0,1). Se preferir três casas decimais: x\approx 0,524.

Resposta

\;x\approx 0,5244

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