1.5 A vazão Q de um líquido através de um pequeno orifício em uma tubulaçăo depende do diâmetro do orif́cio d, do diâmetro da tubulação D, da diferença de pressão \Delta \mathrm{p} entre os dois lados do orifício, da massa específica \rho e da viscosidade absoluta \mu do líquido. Mostre, usando o teorema dos \Pi s, que a vazão pode ser expressa por:
\mathrm{Q}=\mathrm{d}^{2} \sqrt{\frac{\Delta \mathrm{p}}{\rho}} \Phi\left(\frac{\mathrm{D}}{\mathrm{~d}}, \frac{\mu}{\rho \mathrm{~d} \sqrt{\frac{\Delta \mathrm{p}}{\rho}}}\right)

Passo 1

O enunciado pede para usar o Teorema de Buckingham para mostrar que, a partir das variáveis \,Q (vazão), \,d (diâmetro do orifício), \,D (diâmetro da tubulação), \Delta p (diferença de pressão), \rho (massa específica) e \mu (viscosidade), a vazão pode ser escrita na forma
Q \;=\; d^{2}\,\sqrt{\frac{\Delta p}{\rho}}\;\Phi\!\Bigl(\tfrac{D}{d},\,\tfrac{\mu}{\rho\,d\,\sqrt{\frac{\Delta p}{\rho}}}\Bigr).
O conteúdo é análise dimensional usando o Teorema dos \Pis. Precisaremos identificar as dimensões de cada variável, contar quantos \Pis surgem e montar os grupos adimensionais.

Passo 2

Listamos as variáveis com suas dimensões fundamentais (M,L,T):
\begin{aligned} Q &: [L^{3}T^{-1}],\\\ d,\;D &: [L],\\\ \Delta p &: [M\,L^{-1}T^{-2}],\\\ \rho &: [M\,L^{-3}],\\\ \mu &: [M\,L^{-1}T^{-1}]. \end{aligned}
Temos n=6 variáveis e k=3 dimensões básicas, logo n-k=3 grupos adimensionais \Pi_1,\Pi_2,\Pi_3.

Passo 3

Escolhemos como variáveis repetidas \,d\,[L], \Delta p\,[M\,L^{-1}T^{-2}] e \rho\,[M\,L^{-3}], pois combinam as três dimensões.
Montamos \Pi_1 envolvendo Q:
\Pi_1 = Q\,d^{a}\,(\Delta p)^{b}\,\rho^{c}.
Dimensionalmente:
[L^{3}T^{-1}]\,[L]^{a}\,[M\,L^{-1}T^{-2}]^{b}\,[M\,L^{-3}]^{c} = M^{b+c}\,L^{3 + a - b - 3c}\,T^{-1 -2b}.
Para \Pi_1 ser adimensional, as potências de M,L,T devem zerar:
\begin{cases} b + c = 0,\\\\ 3 + a - b - 3c = 0,\\\\ -1 - 2b = 0. \end{cases} \;\Rightarrow\;b=-\tfrac12,\;c=\tfrac12,\;a=-2.
Assim
\Pi_1 = Q\,d^{-2}\,(\Delta p)^{-1/2}\,\rho^{1/2} = \frac{Q}{d^{2}\,\sqrt{\frac{\Delta p}{\rho}}}.

Passo 4

Agora \Pi_2 com D:
\Pi_2 = D\,d^{a}\,(\Delta p)^{b}\,\rho^{c}
Segue a mesma ideia e impõe-se
\begin{cases} b + c = 0,\\\\ 1 + a - b - 3c = 0,\\\\ -2b = 0, \end{cases} \;\Rightarrow\;b=0,\;c=0,\;a=-1,
o que dá
\Pi_2 = D\,d^{-1} = \frac{D}{d}.

Passo 5

Finalmente \Pi_3 com \mu:
\Pi_3 = \mu\,d^{a}\,(\Delta p)^{b}\,\rho^{c}.
Dimensionando e anulando expoentes, resolvemos
\begin{cases} 1 + b + c = 0,\\\\ -1 + a - b - 3c = 0,\\\\ -1 - 2b = 0, \end{cases} \;\Rightarrow\;b=-\tfrac12,\;c=-\tfrac12,\;a=-1,
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\Pi_3 = \mu\,d^{-1}\,(\Delta p)^{-1/2}\,\rho^{-1/2} = \frac{\mu}{d\,\sqrt{\Delta p\,\rho}} = \frac{\mu}{\rho\,d\,\sqrt{\frac{\Delta p}{\rho}}}.

Passo 6

Pelo Teorema de Buckingham, a relação geral entre as variáveis é
\Pi_1 \;=\;\Phi\!\bigl(\Pi_2,\Pi_3\bigr),
isto é
\frac{Q}{d^{2}\,\sqrt{\frac{\Delta p}{\rho}}} =\Phi\!\Bigl(\frac{D}{d},\,\frac{\mu}{\rho\,d\,\sqrt{\frac{\Delta p}{\rho}}}\Bigr).

Resposta

Q = d^{2}\,\sqrt{\frac{\Delta p}{\rho}}\;\Phi\!\Bigl(\tfrac{D}{d},\,\tfrac{\mu}{\rho\,d\,\sqrt{\frac{\Delta p}{\rho}}}\Bigr).

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