1.5 A vazão Q de um líquido através de um pequeno orifício em uma tubulaçăo depende do diâmetro do orif́cio d, do diâmetro da tubulação D, da diferença de pressão \Delta \mathrm{p} entre os dois lados do orifício, da massa específica \rho e da viscosidade absoluta \mu do líquido. Mostre, usando o teorema dos \Pi s, que a vazão pode ser expressa por:
O enunciado pede para usar o Teorema de Buckingham para mostrar que, a partir das variáveis \,Q (vazão), \,d (diâmetro do orifício), \,D (diâmetro da tubulação), \Delta p (diferença de pressão), \rho (massa específica) e \mu (viscosidade), a vazão pode ser escrita na forma
O conteúdo é análise dimensional usando o Teorema dos \Pis. Precisaremos identificar as dimensões de cada variável, contar quantos \Pis surgem e montar os grupos adimensionais.
Passo 2
Listamos as variáveis com suas dimensões fundamentais (M,L,T):
Temos n=6 variáveis e k=3 dimensões básicas, logo n-k=3 grupos adimensionais \Pi_1,\Pi_2,\Pi_3.
Passo 3
Escolhemos como variáveis repetidas \,d\,[L], \Delta p\,[M\,L^{-1}T^{-2}] e \rho\,[M\,L^{-3}], pois combinam as três dimensões.
Montamos \Pi_1 envolvendo Q:
\Pi_1 = Q\,d^{a}\,(\Delta p)^{b}\,\rho^{c}.
Dimensionalmente:
[L^{3}T^{-1}]\,[L]^{a}\,[M\,L^{-1}T^{-2}]^{b}\,[M\,L^{-3}]^{c} = M^{b+c}\,L^{3 + a - b - 3c}\,T^{-1 -2b}.
Para \Pi_1 ser adimensional, as potências de M,L,T devem zerar:
\begin{cases} b + c = 0,\\\\ 3 + a - b - 3c = 0,\\\\ -1 - 2b = 0. \end{cases} \;\Rightarrow\;b=-\tfrac12,\;c=\tfrac12,\;a=-2.