04 - As curvas traçadas para a região turbulenta, no diagrama de Moody, são geradas a partir da equação de Colebrook, \frac{1}{f^{0.5}}=-2.0 \log \left(\frac{\epsilon / D}{3.7}+\frac{2.51}{\operatorname{Re} f^{0.5}}\right). Uma estimativa inicial para f_{0} pode ser obtida pela equação de Miller, f_{0}=0.25\left[\log \left(\frac{\epsilon / D}{3.7}+\frac{5.74}{R e^{0.9}}\right)\right]^{-2} com precisão de 1 \% com apenas uma iteração. Calcule para os \operatorname{Re}=10^{4} e \operatorname{Re}=10^{5}, para \frac{\epsilon}{D}=0 ; 0.0001 ; 0.001 ; 0.01 e 0.05.
Reynolds \epsilon / D
10^{4} 0 0.0001 0.001 0.01 0.05
f
10^{5} 0 0.0001 0.001 0.01 0.05
f

Passo 1

O enunciado pede para calcular o fator de atrito f em escoamento inteiramente turbulento, para dois números de Reynolds \operatorname{Re}=10^4 e \operatorname{Re}=10^5 e cinco valores de rugosidade relativa \epsilon/D. Vamos usar a equação implícita de Colebrook:
\frac{1}{\sqrt{f}}=-2{,}0\;\log_{10}\!\Bigl(\frac{\epsilon/D}{3{,}7}+\frac{2{,}51}{\operatorname{Re}\,\sqrt{f}}\Bigr)
e obter uma solução em apenas uma iteração, partindo da estimativa inicial de Miller
f_0=0{,}25\;\Bigl[\log_{10}\!\Bigl(\frac{\epsilon/D}{3{,}7}+\frac{5{,}74}{\operatorname{Re}^{0{,}9}}\Bigr)\Bigr]^{-2}.

Passo 2

A estratégia é:
  1. Calcular f_0 pela fórmula de Miller.
  2. Substituir \sqrt{f_0} na parte direita de Colebrook para obter
\frac{1}{\sqrt{f_1}}=-2{,}0\;\log_{10}\!\Bigl(\frac{\epsilon/D}{3{,}7}+\frac{2{,}51}{\operatorname{Re}\,\sqrt{f_0}}\Bigr)
e então
f_1=\Bigl[\;{-2{,}0}\,\log_{10}\!\bigl(\tfrac{\epsilon/D}{3{,}7}+\tfrac{2{,}51}{\operatorname{Re}\,\sqrt{f_0}}\bigr)\Bigr]^{-2}.
Este f_1 atinge precisão melhor que 1\%.

Passo 3

Aplicando o procedimento para cada caso, obtemos:
Para \operatorname{Re}=10^4: \operatorname{Re}^{0{,}9}\approx3974.
5,74/ \operatorname{Re}^{0{,}9}=0{,}001444.
  1. \epsilon/D=0
f_0=0{,}25\,[\log_{10}(0+0{,}001444)]^{-2}\approx0{,}03100, \quad f_1\approx0{,}03085.
  1. \epsilon/D=10^{-4}
f_0\approx0{,}03117,\quad f_1\approx0{,}03097.
  1. \epsilon/D=10^{-3}
f_0\approx0{,}03267,\quad f_1\approx0{,}03231.
  1. \epsilon/D=10^{-2}
f_0\approx0{,}04408,\quad f_1\approx0{,}04306.
  1. \epsilon/D=0{,}05
f_0\approx0{,}07502,\quad f_1\approx0{,}07387.
Para \operatorname{Re}=10^5: \operatorname{Re}^{0{,}9}\approx31761.
5,74/ \operatorname{Re}^{0{,}9}=0{,}0001808.
  1. \epsilon/D=0
f_0\approx0{,}01783,\quad f_1\approx0{,}01799.
  1. \epsilon/D=10^{-4}
f_0\approx0{,}01844,\quad f_1\approx0{,}01853.
  1. \epsilon/D=10^{-3}
f_0\approx0{,}02234,\quad f_1\approx0{,}02215.
  1. \epsilon/D=10^{-2}
f_0\approx0{,}03875,\quad f_1\approx0{,}03856.
  1. \epsilon/D=0{,}05
f_0\approx0{,}07203,\quad f_1\approx0{,}07167.

Resposta

Para três casas decimais: \operatorname{Re}=10^4: \epsilon/D=0: f\approx0,0309 \epsilon/D=10^{-4}: f\approx0,0310 \epsilon/D=10^{-3}: f\approx0,0323 \epsilon/D=10^{-2}: f\approx0,0431 \epsilon/D=0,05: f\approx0,0739 \operatorname{Re}=10^5: \epsilon/D=0: f\approx0,0180 \epsilon/D=10^{-4}: f\approx0,0185 \epsilon/D=10^{-3}: f\approx0,0222 \epsilon/D=10^{-2}: f\approx0,0386 \epsilon/D=0,05: f\approx0,0717

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