Ar escoa em regime permanente através de um duto horizontal convergente utilizado em um sistema de ventilação industrial. Considere que os efeitos viscosos são desprezíveis e que o escoamento pode ser tratado como incompressível. O duto possui diâmetro de entrada de 0,40 \mathrm{~m} e diâmetro de saída de 0,20 \mathrm{~m}. Na seção de entrada, a pressão manométrica do ar é 18 kPa e a
velocidade média é 12 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Considere a massa específica do ar constante e igual a 1,2 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}. Sabendo que o trecho convergente possui comprimento de 1,5 \mathrm{~m}, determine:
a) a velocidade média do ar na saída do duto
b) a aceleração convectiva média do escoamento ao longo do trecho convergente
c) a pressão manométrica na saída do duto
d) o gradiente médio de pressão ao longo do convergente.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados (retirados do enunciado):
Diâmetro de entrada: D_1 = 0{,}40\\ \mathrm{m}.
Diâmetro de saída: D_2 = 0{,}20\\ \mathrm{m}.
Pressão manométrica na entrada: p_1 = 18\\ \mathrm{kPa}.
Velocidade média na entrada: u_1 = 12\\ \mathrm{m/s}.
Massa específica do ar: \rho = 1{,}2\\ \mathrm{kg/m^3} (constante).
Comprimento do trecho convergente: L = 1{,}5\\ \mathrm{m}.
O enunciado pede:
a) a velocidade média do ar na saída do duto;
b) a aceleração convectiva média do escoamento ao longo do trecho convergente;
c) a pressão manométrica na saída do duto;
d) o gradiente médio de pressão ao longo do convergente.
Passo 2
Cálculo da velocidade média na saída usando a continuidade (conservação de vazão volumétrica).
Teoria rápida (fórmula usada):
Em escoamento incompressível e unidimensional, a vazão volumétrica Q é constante ao longo do duto: Q = A\,u = \text{constante}, onde A é a área da seção transversal e u é a velocidade média nessa seção.
Área de uma seção circular: A = \frac{\pi D^2}{4}, onde D é o diâmetro.
Aplicando entre seção 1 (entrada) e seção 2 (saída):
Cálculo da aceleração convectiva média ao longo do trecho.
Teoria e ideia:
A aceleração convectiva (componentes devido à variação espacial da velocidade) na direção do escoamento é dada por a_x = u\frac{du}{dx}.
A média dessa aceleração ao longo de x\in[0,L] é \dfrac{1}{L}\int_0^L u\,\dfrac{du}{dx}\,dx.
Observação útil: u\,\dfrac{du}{dx} = \dfrac{1}{2}\dfrac{d}{dx}(u^2). Assim a integral fica simples e não é necessário conhecer o perfil exato de u(x), apenas os valores nas extremidades.
Interpretação curta: como a velocidade aumenta ao longo do convergente, a aceleração convectiva média é positiva (no sentido do escoamento) e bastante grande — faz sentido: a velocidade quadruplica, então a energia cinética aumenta bastante por unidade de comprimento.
Passo 4
Cálculo da pressão manométrica na saída usando Bernoulli (escoamento inviscid, incompressível, horizontal, regime permanente).
Teoria (fórmula usada):
Para escoamento incompressível, inviscid e em regime permanente ao longo de uma mesma linha de corrente em duto horizontal, vale a forma simplificada de Bernoulli:
(O sinal negativo na variação dinâmico-pressão indica que parte da pressão é convertida em energia cinética; como a velocidade aumenta, a pressão cai.)
Passo 5
Cálculo do gradiente médio de pressão ao longo do convergente.
Definição e cálculo:
O gradiente médio de pressão ao longo do trecho de comprimento L pode ser tomado como variação média: \overline{\dfrac{dp}{dx}} = \dfrac{p_2-p_1}{L}.
Significado: o gradiente médio negativo indica que a pressão diminui no sentido do escoamento; o módulo 864\\ \mathrm{Pa/m} é a queda média por metro.
Passo 6
Checagens rápidas e encorajamento:
Continuidade e Bernoulli são suficientes aqui porque o problema assumiu escoamento incompressível e desprezou viscosidade.
Os cálculos são consistentes dimensionalmente.
Ótimo trabalho acompanhando passo a passo — essas ferramentas (continuidade, relação u\,du/dx e Bernoulli) resolvem muitos problemas de dutos em provas.