Ar escoa em regime permanente através de um duto horizontal convergente utilizado em um sistema de ventilação industrial. Considere que os efeitos viscosos são desprezíveis e que o escoamento pode ser tratado como incompressível. O duto possui diâmetro de entrada de 0,40 \mathrm{~m} e diâmetro de saída de 0,20 \mathrm{~m}. Na seção de entrada, a pressão manométrica do ar é 18 kPa e a
velocidade média é 12 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Considere a massa específica do ar constante e igual a 1,2 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}. Sabendo que o trecho convergente possui comprimento de 1,5 \mathrm{~m}, determine:
a) a velocidade média do ar na saída do duto
b) a aceleração convectiva média do escoamento ao longo do trecho convergente
c) a pressão manométrica na saída do duto
d) o gradiente médio de pressão ao longo do convergente.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados (retirados do enunciado):
  • Diâmetro de entrada: D_1 = 0{,}40\\ \mathrm{m}.
  • Diâmetro de saída: D_2 = 0{,}20\\ \mathrm{m}.
  • Pressão manométrica na entrada: p_1 = 18\\ \mathrm{kPa}.
  • Velocidade média na entrada: u_1 = 12\\ \mathrm{m/s}.
  • Massa específica do ar: \rho = 1{,}2\\ \mathrm{kg/m^3} (constante).
  • Comprimento do trecho convergente: L = 1{,}5\\ \mathrm{m}.
  • Escoamento: regime permanente, incompressível, efeitos viscosos desprezíveis, duto horizontal.
O enunciado pede:
a) a velocidade média do ar na saída do duto;
b) a aceleração convectiva média do escoamento ao longo do trecho convergente;
c) a pressão manométrica na saída do duto;
d) o gradiente médio de pressão ao longo do convergente.

Passo 2

Cálculo da velocidade média na saída usando a continuidade (conservação de vazão volumétrica).
Teoria rápida (fórmula usada):
  • Em escoamento incompressível e unidimensional, a vazão volumétrica Q é constante ao longo do duto: Q = A\,u = \text{constante}, onde A é a área da seção transversal e u é a velocidade média nessa seção.
  • Área de uma seção circular: A = \frac{\pi D^2}{4}, onde D é o diâmetro.
Aplicando entre seção 1 (entrada) e seção 2 (saída):
A_1 u_1 = A_2 u_2 \quad\Rightarrow\quad u_2 = u_1\frac{A_1}{A_2} = u_1\frac{D_1^2}{D_2^2}.
Agora substituo os números:
u_2 = 12\cdot\frac{(0{,}40)^2}{(0{,}20)^2} = 12\cdot\frac{0{,}16}{0{,}04} = 12\cdot 4 = 48\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Cálculo da aceleração convectiva média ao longo do trecho.
Teoria e ideia:
  • A aceleração convectiva (componentes devido à variação espacial da velocidade) na direção do escoamento é dada por a_x = u\frac{du}{dx}.
  • A média dessa aceleração ao longo de x\in[0,L] é \dfrac{1}{L}\int_0^L u\,\dfrac{du}{dx}\,dx.
  • Observação útil: u\,\dfrac{du}{dx} = \dfrac{1}{2}\dfrac{d}{dx}(u^2). Assim a integral fica simples e não é necessário conhecer o perfil exato de u(x), apenas os valores nas extremidades.
Cálculo:
\bar{a}_{\text{conv}} = \frac{1}{L}\int_0^L u\frac{du}{dx}\,dx = \frac{1}{L}\int_0^L \frac{1}{2}\frac{d}{dx}(u^2)\,dx = \frac{1}{2L}\bigl[u^2\bigr]_{u_1}^{u_2} = \frac{u_2^2-u_1^2}{2L}.
Substituindo valores:
\bar{a}_{\text{conv}} = \frac{48^2-12^2}{2\cdot 1{,}5} = \frac{2304-144}{3} = \frac{2160}{3} = 720\\ \mathrm{m/s^2}.
Interpretação curta: como a velocidade aumenta ao longo do convergente, a aceleração convectiva média é positiva (no sentido do escoamento) e bastante grande — faz sentido: a velocidade quadruplica, então a energia cinética aumenta bastante por unidade de comprimento.

Passo 4

Cálculo da pressão manométrica na saída usando Bernoulli (escoamento inviscid, incompressível, horizontal, regime permanente).
Teoria (fórmula usada):
  • Para escoamento incompressível, inviscid e em regime permanente ao longo de uma mesma linha de corrente em duto horizontal, vale a forma simplificada de Bernoulli:
p + \tfrac{1}{2}\rho u^2 = \text{constante}.
  • Portanto entre entrada (1) e saída (2):
p_1 + \tfrac{1}{2}\rho u_1^2 = p_2 + \tfrac{1}{2}\rho u_2^2 \quad\Rightarrow\quad p_2 = p_1 + \tfrac{1}{2}\rho\,(u_1^2 - u_2^2).
Cálculo numérico:
u_1^2 - u_2^2 = 12^2 - 48^2 = 144 - 2304 = -2160.
\tfrac{1}{2}\rho\,(u_1^2 - u_2^2) = 0{,}5\cdot 1{,}2\cdot(-2160) = 0{,}6\cdot(-2160) = -1296\\ \mathrm{Pa}.
Como p_1=18\\ \mathrm{kPa}=18000\\ \mathrm{Pa},
p_2 = 18000 - 1296 = 16704\\ \mathrm{Pa} = 16{,}704\\ \mathrm{kPa}.
(O sinal negativo na variação dinâmico-pressão indica que parte da pressão é convertida em energia cinética; como a velocidade aumenta, a pressão cai.)

Passo 5

Cálculo do gradiente médio de pressão ao longo do convergente.
Definição e cálculo:
  • O gradiente médio de pressão ao longo do trecho de comprimento L pode ser tomado como variação média: \overline{\dfrac{dp}{dx}} = \dfrac{p_2-p_1}{L}.
  • Substituindo:
\overline{\frac{dp}{dx}} = \frac{16704-18000}{1{,}5} = \frac{-1296}{1{,}5} = -864\\ \mathrm{Pa/m}.
Significado: o gradiente médio negativo indica que a pressão diminui no sentido do escoamento; o módulo 864\\ \mathrm{Pa/m} é a queda média por metro.

Passo 6

Checagens rápidas e encorajamento:
  • Continuidade e Bernoulli são suficientes aqui porque o problema assumiu escoamento incompressível e desprezou viscosidade.
  • Os cálculos são consistentes dimensionalmente.
  • Ótimo trabalho acompanhando passo a passo — essas ferramentas (continuidade, relação u\,du/dx e Bernoulli) resolvem muitos problemas de dutos em provas.

Resposta

a)\; u_2 = 48\\ \mathrm{m/s}
b)\; \bar{a}_{\text{conv}} = 720\\ \mathrm{m/s^2}
\text{©}; p_2 = 16704\ \mathrm{Pa} = 16{,}704\ \mathrm{kPa})
d)\; \overline{\dfrac{dp}{dx}} = -864\\ \mathrm{Pa/m}

Exercícios relacionados