Um escoamento incompressível, invíscido e estacionário ocorre ao longo de uma tubulação horizontal. O gradiente de pressão na direção do escoamento é constante e igual a -2500 \mathrm{~Pa} / \mathrm{m}. A massa específica do fluido é \rho=10^{-3} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}. Sabe-se também que a velocidade inicial do fluido na posição é 2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Qual a velocidade do fluido na posição \mathrm{x}=8 \mathrm{~m} ?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Gradiente de pressão ao longo do escoamento: \dfrac{dp}{dx}=-2500\\ \mathrm{Pa/m}.
  • Massa específica do fluido: \rho=10^{-3}\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • Velocidade inicial (na posição que vou chamar de x=0): v(0)=2\\ \mathrm{m/s}.
  • Queremos a velocidade do fluido na posição x=8\\ \mathrm{m}, isto é v(8).
O enunciado pede apenas v(8).

Passo 2

Qual princípio físico usar? Como o escoamento é incompressível, invíscido e estacionário e a tubulação é horizontal, podemos aplicar a equação de Bernoulli entre dois pontos da mesma linha de escoamento. Vou escrever a forma relevante de Bernoulli e explicar cada termo.
A equação de Bernoulli entre x=0 e x=8 (sem variação de altura porque a tubulação é horizontal) é
p(0)+\tfrac{1}{2}\rho v(0)^2 = p(8)+\tfrac{1}{2}\rho v(8)^2.
Explicando:
  • p(x) é a pressão no ponto x.
  • \rho é a massa específica (constante, pois o escoamento é incompressível).
  • v(x) é a velocidade no ponto x.
    A equação diz que a soma da pressão estática e da pressão dinâmica ( \tfrac{1}{2}\rho v^2) é constante ao longo da linha de escoamento.

Passo 3

Relacionar o gradiente de pressão com a diferença de pressão entre x=0 e x=8.
Como \dfrac{dp}{dx} é constante, a diferença de pressão é
p(8)-p(0)=\left(\dfrac{dp}{dx}\right)\Delta x = -2500\cdot 8.
Calculemos:
-2500\cdot 8 = -20000\\ \mathrm{Pa},
portanto
p(8)-p(0) = -20000\\ \mathrm{Pa}.

Passo 4

Substituir a diferença de pressão na equação de Bernoulli e isolar v(8).
Da Bernoulli temos
p(8)-p(0) = \tfrac{1}{2}\rho\bigl(v(0)^2 - v(8)^2\bigr).
Substituindo p(8)-p(0)=-20000\\ \mathrm{Pa} e rearranjando para v(8)^2:
-20000 = \tfrac{1}{2}\rho\bigl(v(0)^2 - v(8)^2\bigr).
Multiplicando ambos os lados por \dfrac{2}{\rho}:
\dfrac{2(-20000)}{\rho} = v(0)^2 - v(8)^2.
Assim
v(8)^2 = v(0)^2 + \dfrac{40000}{\rho}.

Passo 5

Agora basta substituir os valores numéricos e calcular.
Temos v(0)=2\\ \mathrm{m/s} e \rho=10^{-3}\\ \mathrm{kg/m^{3}}. Então
v(8)^2 = 2^2 + \dfrac{40000}{10^{-3}} = 4 + 4\cdot 10^{7} = 40000004.
Tomando raiz quadrada,
v(8)=\sqrt{40000004}\approx 6324{,}6\\ \mathrm{m/s}.
Comentário curto e amigo: o valor ficou muito grande porque a densidade \rho dada é muito pequena; com densidade maior (por exemplo água) o acréscimo de velocidade seria bem menor. Mas seguindo estritamente os dados do enunciado, esse é o valor.

Resposta

v(8)\approx 6324{,}6\\ \mathrm{m/s}

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