Um escoamento incompressível, invíscido e estacionário ocorre ao longo de uma tubulação horizontal. O gradiente de pressão na direção do escoamento é constante e igual a
. A massa específica do fluido é
. Sabe-se também que a velocidade inicial do fluido na posição é
. Qual a velocidade do fluido na posição
?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Gradiente de pressão ao longo do escoamento:
. - Massa específica do fluido:
. - Velocidade inicial (na posição que vou chamar de
): . - Queremos a velocidade do fluido na posição
, isto é .
O enunciado pede apenas
.
Passo 2
Qual princípio físico usar? Como o escoamento é incompressível, invíscido e estacionário e a tubulação é horizontal, podemos aplicar a equação de Bernoulli entre dois pontos da mesma linha de escoamento. Vou escrever a forma relevante de Bernoulli e explicar cada termo.
A equação de Bernoulli entre
e
(sem variação de altura porque a tubulação é horizontal) é
Explicando:
-
é a pressão no ponto . -
é a massa específica (constante, pois o escoamento é incompressível). -
é a velocidade no ponto .
A equação diz que a soma da pressão estática e da pressão dinâmica () é constante ao longo da linha de escoamento.
Passo 3
Relacionar o gradiente de pressão com a diferença de pressão entre
e
.
Como
é constante, a diferença de pressão é
Calculemos:
portanto
Passo 4
Substituir a diferença de pressão na equação de Bernoulli e isolar
.
Da Bernoulli temos
Substituindo
e rearranjando para
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Assim
Passo 5
Agora basta substituir os valores numéricos e calcular.
Temos
e
. Então
Tomando raiz quadrada,
Comentário curto e amigo: o valor ficou muito grande porque a densidade
dada é muito pequena; com densidade maior (por exemplo água) o acréscimo de velocidade seria bem menor. Mas seguindo estritamente os dados do enunciado, esse é o valor.