Questão 6

Conteúdo de suporte para a questão
Considere o seguinte enunciado para responder às questões de 6 a 7 .
Considere a matriz A=\left[\begin{array}{ccc}3 & -1 & 3 \\\\ 2 & 3 & -1 \\\\ 9 & 2 & 0\end{array}\right] e as matrizes B=\left[\begin{array}{c}-3 \\\\ 2 \\\\ 3\end{array}\right] e X=\left[\begin{array}{l}x \\\ y \\\ z\end{array}\right].
Encontre os cofatores de A : (Coloque todos os detalhes dos cálculos realizados.)
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Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 3\\\\ 2 & 3 & -1\\\\ 9 & 2 & 0 \end{pmatrix}
e pede todos os cofatores C_{ij} de A.
Sabemos que o cofatorde A é dado por
C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij},
onde M_{ij} é o determinante da submatriz obtida de A ao eliminar a linha i e a coluna j.

Passo 2

Cofatores da primeira linha i=1
M_{11} = \begin{vmatrix} 3 & -1\\\\ 2 & 0 \end{vmatrix} = 3\cdot0 - (-1)\cdot2 = 2,\qquad C_{11} = (-1)^{1+1}M_{11} = 2.
M_{12} = \begin{vmatrix} 2 & -1\\\\ 9 & 0 \end{vmatrix} = 2\cdot0 - (-1)\cdot9 = 9,\qquad C_{12} = (-1)^{1+2}M_{12} = -9.
M_{13} = \begin{vmatrix} 2 & 3\\\\ 9 & 2 \end{vmatrix} = 2\cdot2 - 3\cdot9 = 4 - 27 = -23,\qquad C_{13} = (-1)^{1+3}M_{13} = -23.

Passo 3

Cofatores da segunda linha i=2
M_{21} = \begin{vmatrix} -1 & 3\\\\ 2 & 0 \end{vmatrix} = (-1)\cdot0 - 3\cdot2 = -6,\qquad C_{21} = (-1)^{2+1}M_{21} = 6.
M_{22} = \begin{vmatrix} 3 & 3\\\\ 9 & 0 \end{vmatrix} = 3\cdot0 - 3\cdot9 = -27,\qquad C_{22} = (-1)^{2+2}M_{22} = -27.
M_{23} = \begin{vmatrix} 3 & -1\\\\ 9 & 2 \end{vmatrix} = 3\cdot2 - (-1)\cdot9 = 6 + 9 = 15,\qquad C_{23} = (-1)^{2+3}M_{23} = -15.

Passo 4

Cofatores da terceira linha i=3
M_{31} = \begin{vmatrix} -1 & 3\\\\ 3 & -1 \end{vmatrix} = (-1)\cdot(-1) - 3\cdot3 = 1 - 9 = -8,\qquad C_{31} = (-1)^{3+1}M_{31} = -8.
M_{32} = \begin{vmatrix} 3 & 3\\\\ 2 & -1 \end{vmatrix} = 3\cdot(-1) - 3\cdot2 = -3 - 6 = -9,\qquad C_{32} = (-1)^{3+2}M_{32} = 9.
M_{33} = \begin{vmatrix} 3 & -1\\\\ 2 & 3 \end{vmatrix} = 3\cdot3 - (-1)\cdot2 = 9 + 2 = 11,\qquad C_{33} = (-1)^{3+3}M_{33} = 11.

Resposta

A matriz dos cofatores de A é
\begin{pmatrix} 2 & -9 & -23\\\\ 6 & -27 & -15\\\\ -8 & 9 & 11 \end{pmatrix}.

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