Se \vec{a} e \vec{b} são perpendiculares e \|\vec{a}\|=3,\|\vec{b}\|=5, ache
\|(\vec{a}+\vec{b}) \times(\vec{a}-\vec{b})\|

Passo 1

O enunciado dá dois vetores \vec{a} e \vec{b} perpendiculares, com \|\vec{a}\|=3 e \|\vec{b}\|=5, e pede a norma do produto vetorial
(\vec{a}+\vec{b})\times(\vec{a}-\vec{b}).
O conteúdo principal aqui é manipular o produto vetorial, usando a propriedade distributiva e o fato de que \vec{u}\times\vec{u}=\vec{0} e \vec{u}\times\vec{v}=-\,\vec{v}\times\vec{u}.

Passo 2

Aplicando a distributividade do produto vetorial, temos
(\vec{a}+\vec{b})\times(\vec{a}-\vec{b}) =\vec{a}\times\vec{a}-\vec{a}\times\vec{b}+\vec{b}\times\vec{a}-\vec{b}\times\vec{b}.

Passo 3

Usamos que \vec{a}\times\vec{a}=\vec{0}, \vec{b}\times\vec{b}=\vec{0} e \vec{b}\times\vec{a}=-\,\vec{a}\times\vec{b}. Logo
(\vec{a}+\vec{b})\times(\vec{a}-\vec{b}) = -\,\vec{a}\times\vec{b} -\,\vec{a}\times\vec{b} = -2\,(\vec{a}\times\vec{b}).

Passo 4

A norma desse vetor é
\big\|(\vec{a}+\vec{b})\times(\vec{a}-\vec{b})\big\| =\big\|-2\,(\vec{a}\times\vec{b})\big\| =2\,\big\|\vec{a}\times\vec{b}\big\|.

Passo 5

Como \vec{a} e \vec{b} são perpendiculares, o ângulo entre eles é 90^\circ e
\|\vec{a}\times\vec{b}\| =\|\vec{a}\|\,\|\vec{b}\|\sin 90^\circ =3\cdot5\cdot1 =15.
Portanto,
2\cdot\|\vec{a}\times\vec{b}\| =2\cdot15 =30.

Resposta

30

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