Mostre a formula: \vec{u} \times(\vec{v} \times \vec{w})=(\vec{u} \cdot \vec{w}) \vec{v}+(\vec{u} \cdot \vec{v}) \vec{w}.

Passo 1

Estamos mostrando a identidade do triplo produto vetorial, que diz como expandir
\vec{u}\times\bigl(\vec{v}\times\vec{w}\bigr)
em combinações lineares de \vec{v} e \vec{w}. O resultado correto é
\vec{u}\times\bigl(\vec{v}\times\vec{w}\bigr) =(\vec{u}\cdot\vec{w})\,\vec{v} -(\vec{u}\cdot\vec{v})\,\vec{w}.
(A versão com sinal “ +” na segunda parcela está incorreta.)

Passo 2

Escrevemos componentes usando o símbolo de Levi–Civita \varepsilon_{ijk}. Em componentes cartesianas:
\bigl[\vec{u}\times(\vec{v}\times\vec{w})\bigr]_i =\varepsilon_{ijk}\,u_j\,(v\times w)_k =\varepsilon_{ijk}\,u_j\,\bigl(\varepsilon_{kpq}\,v_p\,w_q\bigr).

Passo 3

Aplicamos a identidade de contração de dois \varepsilon:
\varepsilon_{ijk}\,\varepsilon_{kpq} =\delta_{ip}\,\delta_{jq} -\delta_{iq}\,\delta_{jp},
onde \delta_{ab} é o delta de Kronecker.

Passo 4

Substituindo e reorganizando índices:
\begin{aligned} \bigl[\vec{u}\times(\vec{v}\times\vec{w})\bigr]_i &=(\delta_{ip}\,\delta_{jq} -\delta_{iq}\,\delta_{jp})\,u_j\,v_p\,w_q\\\ &=u_j\,v_i\,w_j\;-\;u_j\,v_j\,w_i\\\ &=(\vec{u}\cdot\vec{w})\,v_i \;-\;(\vec{u}\cdot\vec{v})\,w_i. \end{aligned}

Passo 5

Voltando à notação vetorial, concluímos
\boxed{ \vec{u}\times\bigl(\vec{v}\times\vec{w}\bigr) =(\vec{u}\cdot\vec{w})\,\vec{v} -(\vec{u}\cdot\vec{v})\,\vec{w} }.

Resposta

\vec{u}\times(\vec{v}\times\vec{w}) =(\vec{u}\cdot\vec{w})\,\vec{v} -(\vec{u}\cdot\vec{v})\,\vec{w}.

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