Se \vec{a} e \vec{b} são perpendiculares e \|\vec{a}\|=3,\|\vec{b}\|=5, ache
\|(3 \vec{a}-\vec{b}) \times(\vec{a}-2 \vec{b})\|

Passo 1

O enunciado dá dois vetores \vec{a} e \vec{b} tais que eles são perpendiculares, com \|\vec{a}\|=3 e \|\vec{b}\|=5. Pede-se calcular
\|(3\vec{a}-\vec{b})\times(\vec{a}-2\vec{b})\|.
Para resolver, vamos usar as propriedades de bilinearidade e anticomutatividade do produto vetorial, além do fato de que, sendo \vec{a}\perp \vec{b}, vale
\|\vec{a}\times \vec{b}\|=\|\vec{a}\|\,\|\vec{b}\|.

Passo 2

Aplicamos a bilinearidade do produto vetorial para expandir
(3\vec{a}-\vec{b})\times(\vec{a}-2\vec{b}) =3\vec{a}\times\vec{a}-6\vec{a}\times\vec{b} -\vec{b}\times\vec{a}+2\vec{b}\times\vec{b}.
Aqui usamos que \lambda(\vec{u}\times\vec{v})=(\lambda\vec{u})\times\vec{v}=\vec{u}\times(\lambda\vec{v}) e que o produto vetorial é distributivo.

Passo 3

Observamos que \vec{a}\times\vec{a}=\vec{0} e \vec{b}\times\vec{b}=\vec{0}$. Além disso, pela anticomutatividade
\vec{b}\times\vec{a}=-\,\vec{a}\times\vec{b}.
Portanto
(3\vec{a}-\vec{b})\times(\vec{a}-2\vec{b}) =-6\,\vec{a}\times\vec{b} -(-\vec{a}\times\vec{b}) =-5\,\vec{a}\times\vec{b}.

Passo 4

Agora calculamos a norma. Como \vec{a} e \vec{b} são perpendiculares,
\|\vec{a}\times\vec{b}\| =\|\vec{a}\|\,\|\vec{b}\| =3\cdot5=15.
Logo
\|(3\vec{a}-\vec{b})\times(\vec{a}-2\vec{b})\| =\|-5\,\vec{a}\times\vec{b}\| =5\,\|\vec{a}\times\vec{b}\| =5\cdot15.

Resposta

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