Determinar o centro e o raio da circunferência cuja equação é 4 x^{2}+4 y^{2}-12 x+12 y-7=0

Passo 1

O enunciado dá a equação da circunferência
4x^{2}+4y^{2}-12x+12y-7=0
e pede:
  • determinar o centro da circunferência;
  • determinar o raio da circunferência.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • coeficiente de x^{2} é 4;
  • coeficiente de y^{2} é 4;
  • termo em x é -12x;
  • termo em y é +12y;
  • termo constante é -7.

Passo 2

Vamos recolocar a equação na forma padrão da circunferência, que é
(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2},
onde (h,k) é o centro e r o raio. Para isso vamos agrupar os termos em x e em y e completar o quadrado.
Primeiro, agrupar e fatorar o 4 comum nos termos quadráticos e lineares:
4x^{2}-12x+4y^{2}+12y-7=0
4(x^{2}-3x)+4(y^{2}+3y)-7=0.

Passo 3

Explicar e aplicar “completar o quadrado”:
Regra rápida: para transformar x^{2}+Bx em um quadrado perfeito use
x^{2}+Bx=\left(x+\frac{B}{2}\right)^{2}-\left(\frac{B}{2}\right)^{2}.
Aqui, para x^{2}-3x temos B=-3, então \dfrac{B}{2}=-\dfrac{3}{2} e
x^{2}-3x=\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}-\left(\frac{3}{2}\right)^{2}.
Para y^{2}+3y temos B=3, então \dfrac{B}{2}=\dfrac{3}{2} e
y^{2}+3y=\left(y+\frac{3}{2}\right)^{2}-\left(\frac{3}{2}\right)^{2}.

Passo 4

Substituir essas identidades na equação já fatorada:
4\!\left(\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}-\left(\frac{3}{2}\right)^{2}\right) +4\!\left(\left(y+\frac{3}{2}\right)^{2}-\left(\frac{3}{2}\right)^{2}\right)-7=0.
Agora somar os termos semelhantes dentro dos parênteses:
4\left(\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}+\left(y+\frac{3}{2}\right)^{2}-\left(\frac{3}{2}\right)^{2}-\left(\frac{3}{2}\right)^{2}\right)-7=0.
Como \left(\dfrac{3}{2}\right)^{2}=\dfrac{9}{4}, a soma \dfrac{9}{4}+\dfrac{9}{4}=\dfrac{18}{4}=\dfrac{9}{2}. Então
4\left(\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}+\left(y+\frac{3}{2}\right)^{2}-\frac{9}{2}\right)-7=0.

Passo 5

Distribuir o 4 e isolar os quadrados:
4\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}+4\left(y+\frac{3}{2}\right)^{2}-4\cdot\frac{9}{2}-7=0.
Calcular 4\cdot\frac{9}{2}=18, então
4\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}+4\left(y+\frac{3}{2}\right)^{2}-18-7=0,
4\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}+4\left(y+\frac{3}{2}\right)^{2}-25=0.

Passo 6

Passar o 25 para o outro lado e dividir por 4 para obter a forma padrão:
4\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}+4\left(y+\frac{3}{2}\right)^{2}=25
\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}+\left(y+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}.
Daqui já se identifica o centro e o raio: o centro é \left(\dfrac{3}{2},-\dfrac{3}{2}\right) e o raio é \sqrt{\dfrac{25}{4}}=\dfrac{5}{2}.

Resposta

Centro: \left(\dfrac{3}{2},-\dfrac{3}{2}\right)
Raio: \dfrac{5}{2}

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