Para que valores de m e k a equação abaixo representa uma circunferência?
m x^{2}+y^{2}+4 x+6 y+k=0

Passo 1

O enunciado dá a equação
m x^{2}+y^{2}+4 x+6 y+k=0
e pede: para quais valores de m e k essa equação representa uma circunferência?
Informações relevantes fornecidas:
  • O termo em x^{2} tem coeficiente m.
  • O termo em y^{2} tem coeficiente 1.
  • Não há termo em xy.
  • Os termos lineares são 4x e 6y.
  • Existe uma constante k.

Passo 2

Vamos lembrar qual é a forma geral de uma circunferência no plano e quais condições ela impõe numa equação polinomial de segundo grau.
Forma padrão (centro (h,b) e raio r):
(x-h)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}.
Se expandirmos essa forma obtemos
x^{2}+y^{2}-2hx-2by+(h^{2}+b^{2}-r^{2})=0.
Repare que, ao expandir, os coeficientes de x^{2} e y^{2} são iguais (iguais a 1 neste caso). Em geral, se uma equação de segundo grau representa uma circunferência, os coeficientes de x^{2} e y^{2} devem ser iguais e não nulos; e não deve haver termo misto xy. Se os coeficientes forem iguais a uma constante A\neq0, podemos dividir toda a equação por A e obter a forma com coeficientes 1 para x^{2} e y^{2}.
Portanto, condição necessária e suficiente (para termos uma circunferência real ou degenerada) é:
\text{o coeficiente de }x^{2} = \text{o coeficiente de }y^{2}\neq0.

Passo 3

Aplicando essa condição à equação dada: o coeficiente de x^{2} é m e o de y^{2} é 1. Logo devemos ter
m=1,
e além disso este valor não pode ser zero (mas m=1 já não é zero). Portanto a única possibilidade para m é m=1.
A partir de agora substituímos m=1 e trabalhamos com
x^{2}+y^{2}+4x+6y+k=0.

Passo 4

Agora vamos escrever a equação na forma (x-h)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2} completando quadrados — vou mostrar passo a passo como fazer isso (útil na prova).
Separe os termos em x e em y:
x^{2}+4x \quad\text{e}\quad y^{2}+6y.
Para completar o quadrado de x^{2}+4x: toma-se metade do coeficiente de x, que é 4, metade é 2, e eleva-se ao quadrado: 2^{2}=4. Assim
x^{2}+4x=(x+2)^{2}-4.
Para y^{2}+6y: metade de 6 é 3, 3^{2}=9. Assim
y^{2}+6y=(y+3)^{2}-9.
Substituindo essas expressões na equação:
(x+2)^{2}-4+(y+3)^{2}-9+k=0.

Passo 5

Agrupando os termos:
(x+2)^{2}+(y+3)^{2}+ (k-13)=0.
Isolando os quadrados:
(x+2)^{2}+(y+3)^{2}=13-k.
Aqui vemos claramente que o lado direito é o quadrado do raio, ou seja
r^{2}=13-k.
Para que a equação represente uma circunferência geométrica com raio real e positivo, precisamos de r^{2}>0, isto é
13-k>0 \quad\Longleftrightarrow\quad k<13.
Se k=13 então r^{2}=0 e a equação representa um ponto (circunferência degenerada de raio zero) com centro em (-2,-3). Se k>13 não há solução real (raio imaginário), logo não representa circunferência real.

Passo 6

Resumo prático (como usar rapidamente na prova):
  • Primeiro compare os coeficientes de x^{2} e y^{2}. Eles têm de ser iguais e não nulos. Aqui isso força m=1.
  • Depois complete quadrados para obter o centro e r^{2}. Obtém-se r^{2}=13-k.
  • Exija r^{2}>0 para circunferência não degenerada, ou r^{2}=0 para ponto.

Resposta

m=1,\\ k<13
m=1,\\ k=13 (circunferência degenerada — ponto)

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