Para que valores de
e
a equação abaixo representa uma circunferência?
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede: para quais valores de
e
essa equação representa uma circunferência?
Informações relevantes fornecidas:
- O termo em
tem coeficiente . - O termo em
tem coeficiente . - Não há termo em
. - Os termos lineares são
e . - Existe uma constante
.
Passo 2
Vamos lembrar qual é a forma geral de uma circunferência no plano e quais condições ela impõe numa equação polinomial de segundo grau.
Forma padrão (centro
e raio
):
Se expandirmos essa forma obtemos
Repare que, ao expandir, os coeficientes de
e
são iguais (iguais a
neste caso). Em geral, se uma equação de segundo grau representa uma circunferência, os coeficientes de
e
devem ser iguais e não nulos; e não deve haver termo misto
. Se os coeficientes forem iguais a uma constante
, podemos dividir toda a equação por
e obter a forma com coeficientes
para
e
.
Portanto, condição necessária e suficiente (para termos uma circunferência real ou degenerada) é:
Passo 3
Aplicando essa condição à equação dada: o coeficiente de
é
e o de
é
. Logo devemos ter
e além disso este valor não pode ser zero (mas
já não é zero). Portanto a única possibilidade para
é
.
A partir de agora substituímos
e trabalhamos com
Passo 4
Agora vamos escrever a equação na forma
completando quadrados — vou mostrar passo a passo como fazer isso (útil na prova).
Separe os termos em
e em
:
Para completar o quadrado de
: toma-se metade do coeficiente de
, que é
, metade é
, e eleva-se ao quadrado:
. Assim
Para
: metade de
é
,
. Assim
Substituindo essas expressões na equação:
Passo 5
Agrupando os termos:
Isolando os quadrados:
Aqui vemos claramente que o lado direito é o quadrado do raio, ou seja
Para que a equação represente uma circunferência geométrica com raio real e positivo, precisamos de
, isto é
Se
então
e a equação representa um ponto (circunferência degenerada de raio zero) com centro em
. Se
não há solução real (raio imaginário), logo não representa circunferência real.
Passo 6
Resumo prático (como usar rapidamente na prova):
- Primeiro compare os coeficientes de
e . Eles têm de ser iguais e não nulos. Aqui isso força . - Depois complete quadrados para obter o centro e
. Obtém-se . - Exija
para circunferência não degenerada, ou para ponto.