Se \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} são vetores unitários, determine o valor máximo e o valor mínimo de:
\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}
Dê um exemplo de vetores \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} que fornecem o valor mínimo e também dê um exemplo de vetores \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} que fornecem o valor máximo. Dica: Trabalhe com o produto (\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) \cdot(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}).

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos foi dado.
  • Dados: \vec{a},\vec{b},\vec{c} são vetores unitários (ou seja, \|\vec{a}\|=\|\vec{b}\|=\|\vec{c}\|=1).
  • Pedido: determinar o valor máximo e o valor mínimo da expressão
\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{b}\cdot\vec{c}+\vec{c}\cdot\vec{a},
e fornecer um exemplo de vetores \vec{a},\vec{b},\vec{c} que realize o mínimo e outro exemplo que realize o máximo.

Passo 2

Definir uma notação simples e usar uma identidade óbvia.
  • Defino
S=\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{b}\cdot\vec{c}+\vec{c}\cdot\vec{a}.
  • Uma identidade útil (seguindo a dica) é escrever o quadrado da norma da soma:
\|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}\|^2=(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})\cdot(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}).

Passo 3

Expandir a expressão e ligar com S.
  • Usando bilinearidade e simetria do produto escalar,
\|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}\|^2=\vec{a}\cdot\vec{a}+\vec{b}\cdot\vec{b}+\vec{c}\cdot\vec{c} +2\big(\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{b}\cdot\vec{c}+\vec{c}\cdot\vec{a}\big).
  • Como os vetores são unitários, \vec{a}\cdot\vec{a}=\vec{b}\cdot\vec{b}=\vec{c}\cdot\vec{c}=1. Portanto
\|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}\|^2=3+2S,
ou isolando S,
S=\frac{\|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}\|^2-3}{2}.

Passo 4

Encontrar o menor valor possível de S usando que a norma ao quadrado é não negativa.
  • Sabemos que \|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}\|^2\ge 0. Assim
S\ge\frac{0-3}{2}=-\frac{3}{2}.
  • Isto dá um limite inferior S\ge -\tfrac{3}{2}. Agora precisamos verificar se esse valor -\tfrac{3}{2} é atingível por alguma escolha de vetores unitários.

Passo 5

Exibir vetores que tornam \|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}\|=0, ou seja, que somam zero, e calcular S nesse caso.
  • Se \vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0} então \|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}\|^2=0 e, pela fórmula, S=-\tfrac{3}{2}.
  • Um exemplo clássico: três vetores unitários coplanares formando ângulos de 120^\circ entre si somam zero. Tomemos
\vec{a}=\bigl(1,0,0\bigr), \qquad \vec{b}=\Bigl(-\tfrac{1}{2},\tfrac{\sqrt{3}}{2},0\Bigr), \qquad \vec{c}=\Bigl(-\tfrac{1}{2},-\tfrac{\sqrt{3}}{2},0\Bigr).
  • Verificação rápida:
    • \vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=(1-\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{2},\,0+\tfrac{\sqrt{3}}{2}-\tfrac{\sqrt{3}}{2},\,0)=(0,0,0).
    • Para estes vetores, \vec{a}\cdot\vec{b}=\cos(120^\circ)=-\tfrac{1}{2}, e pelos mesmos motivos \vec{b}\cdot\vec{c}=\vec{c}\cdot\vec{a}=-\tfrac{1}{2}.
    • Portanto S=-\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{2}=-\tfrac{3}{2}.
  • Conclusão: o menor valor -\tfrac{3}{2} é atingido.

Passo 6

Determinar o maior valor possível de S.
  • Pela desigualdade triangular para normas temos
\|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}\|\le\|\vec{a}\|+\|\vec{b}\|+\|\vec{c}\|=1+1+1=3.
  • Elevando ao quadrado,
\|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}\|^2\le 9.
  • Usando S=(\|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}\|^2-3)/2, obtemos
S\le\frac{9-3}{2}=3.
  • Alternativamente, nota-se diretamente que cada produto escalar \vec{u}\cdot\vec{v}\le 1 (pois são unitários), então S\le 1+1+1=3.

Passo 7

Exibir vetores que atingem o máximo e verificar.
  • Atinge-se S=3 quando \|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}\|=3, o que acontece se e somente se \vec{a},\vec{b},\vec{c} têm a mesma direção e mesmo sentido (todos unitários e iguais). Por exemplo:
\vec{a}=\vec{b}=\vec{c}=(1,0,0).
  • Verificação: para esses vetores, \vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{c}=\vec{c}\cdot\vec{a}=1, logo S=1+1+1=3.
  • Conclusão: o maior valor 3 é atingido.

Resposta

Máximo: 3. Exemplo: \vec{a}=\vec{b}=\vec{c}=(1,0,0).
Mínimo: -\tfrac{3}{2}. Exemplo: \vec{a}=(1,0,0),\\ \vec{b}=(-\tfrac{1}{2},\tfrac{\sqrt{3}}{2},0),\\ \vec{c}=(-\tfrac{1}{2},-\tfrac{\sqrt{3}}{2},0).

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