Se
são vetores unitários, determine o valor máximo e o valor mínimo de:
Dê um exemplo de vetores
que fornecem o valor mínimo e também dê um exemplo de vetores
que fornecem o valor máximo. Dica: Trabalhe com o produto
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos foi dado.
- Dados:
são vetores unitários (ou seja, ). - Pedido: determinar o valor máximo e o valor mínimo da expressão
e fornecer um exemplo de vetores
que realize o mínimo e outro exemplo que realize o máximo.
Passo 2
Definir uma notação simples e usar uma identidade óbvia.
- Defino
- Uma identidade útil (seguindo a dica) é escrever o quadrado da norma da soma:
Passo 3
Expandir a expressão e ligar com
.
- Usando bilinearidade e simetria do produto escalar,
- Como os vetores são unitários,
. Portanto
ou isolando
,
Passo 4
Encontrar o menor valor possível de
usando que a norma ao quadrado é não negativa.
- Sabemos que
. Assim
- Isto dá um limite inferior
. Agora precisamos verificar se esse valor é atingível por alguma escolha de vetores unitários.
Passo 5
Exibir vetores que tornam
, ou seja, que somam zero, e calcular
nesse caso.
- Se
então e, pela fórmula, . - Um exemplo clássico: três vetores unitários coplanares formando ângulos de
entre si somam zero. Tomemos
- Verificação rápida:
-
. - Para estes vetores,
, e pelos mesmos motivos . - Portanto
.
-
- Conclusão: o menor valor
é atingido.
Passo 6
Determinar o maior valor possível de
.
- Pela desigualdade triangular para normas temos
- Elevando ao quadrado,
- Usando
, obtemos
- Alternativamente, nota-se diretamente que cada produto escalar
(pois são unitários), então .
Passo 7
Exibir vetores que atingem o máximo e verificar.
- Atinge-se
quando , o que acontece se e somente se têm a mesma direção e mesmo sentido (todos unitários e iguais). Por exemplo:
- Verificação: para esses vetores,
, logo . - Conclusão: o maior valor
é atingido.
Resposta
Máximo:
. Exemplo:
.
Mínimo:
. Exemplo:
.