Calcule o volume do paralelepípedo gerado pelos vetores (1,2,1),(0,1,2),(2,1,0).
Passo 1
O que o problema pede e o que foi dado.
Pede: Calcular o volume do paralelepípedo gerado por três vetores.
Vetores fornecidos:
u = (1,2,1)
v = (0,1,2)
w = (2,1,0)
Esses três vetores em \mathbb{R}^3 geram um paralelepípedo; a tarefa é achar o volume desse paralelepípedo.
Passo 2
Conceito-chave (com explicação didática): como obter o volume a partir dos vetores.
Ideia geométrica simples: o volume do paralelepípedo gerado por três vetores u,v,w em \mathbb{R}^3 é dado pelo valor absoluto do produto misto (scalar triple product) entre eles.
Definição do produto misto: \,u\cdot (v\times w)\,. Esse produto dá um número que pode ser positivo ou negativo dependendo da orientação; o volume é o valor absoluto: \,\text{Volume} = \left|u\cdot (v\times w)\right|\,.
Ligação com determinante: o produto misto é exatamente o determinante da matriz 3\times3 cujas linhas (ou colunas) são os vetores u,v,w. Ou seja,u\cdot (v\times w)= \det\begin{pmatrix} u_1 & u_2 & u_3\\[4pt] v_1 & v_2 & v_3\\[4pt] w_1 & w_2 & w_3 \end{pmatrix}.
Por que usar determinante? Porque é uma forma direta e algébrica de calcular o produto misto, e para matrizes 3\times3 há uma fórmula simples (regra de Sarrus) que facilita o cálculo manual na prova.]
Passo 3
Escolha do método e justificativa.
O enunciado não exige método específico.
Escolho usar o determinante da matriz cujas linhas são os vetores u,v,w. É um método básico, direto e rápido para cálculo manual, sem dependência de cálculo vetorial extra. Também é fácil de conferir com a definição do produto misto.
Outra opção seria calcular v\times w e depois fazer u\cdot (v\times w). É equivalente; usar o determinante é mais compacto aqui.
Passo 4
Escrever a matriz cujos elementos usarei no determinante.
Coloco os vetores como linhas da matriz:A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 2\\[4pt] 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}.
Fórmula do determinante 3\times3 que vou aplicar (regra de Sarrus / forma explícita).
A fórmula que uso é\det(A)=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32} -\bigl(a_{13}a_{22}a_{31}+a_{11}a_{23}a_{32}+a_{12}a_{21}a_{33}\bigr).
Substituo os valores dos a_{ij} mostrados no passo anterior.
Passo 6
Cálculo numérico do determinante passo a passo.
Primeiro somatório:a_{11}a_{22}a_{33}=1\cdot 1\cdot 0=0,
a_{12}a_{23}a_{31}=2\cdot 2\cdot 2=8,
a_{13}a_{21}a_{32}=1\cdot 0\cdot 1=0.
Soma = 0+8+0=8.
Segundo somatório (que será subtraído):a_{13}a_{22}a_{31}=1\cdot 1\cdot 2=2,
a_{11}a_{23}a_{32}=1\cdot 2\cdot 1=2,
a_{12}a_{21}a_{33}=2\cdot 0\cdot 0=0.
Soma = 2+2+0=4.
Determinante:\det(A)=8-4=4.
Passo 7
Interpretação final como volume.
O produto misto u\cdot (v\times w) vale \det(A)=4.
O volume é o valor absoluto desse número, portanto\text{Volume}=\left|\det(A)\right|=\left|4\right|=4.