Calcule a integral de linha
, onde
é a fronteira da região limitada entre as circunferência
e
no sentido anti-horário.
Passo 1
O enunciado pede a integral de linha
onde
e
é a fronteira da região anelar
orientada positivamente (sentido anti-horário no contorno exterior e reverso no interior). Vamos usar o Teorema de Green para transformar a integral de linha numa integral dupla sobre a região.
Passo 2
No Teorema de Green, temos
Calculamos as derivadas parciais:
Logo o integrando é
Passo 3
A integral de linha vira
Como
é o anel
, passamos para coordenadas polares:
com
e
.
Passo 4
Em polares o integrando fica
e portanto
Passo 5
Separamos as integrais radial e angular:
Note que
Assim a parte angular é zero.
Passo 6
Como o fator angular é zero, toda a integral dupla vale zero. Pelo Teorema de Green, a integral de linha original também vale zero.