é a curva de interseção do círculo
com o plano
, orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e a curva
definida como a interseção do cilindro
com o plano
. A curva é fechada e orientada no sentido anti-horário quando vista de cima (isto é, vista pelo eixo
).
A tarefa implícita é calcular a circulação fechada
A tarefa implícita é calcular a circulação fechada
Dados relevantes que extraí do enunciado:
- A curva
é fechada e está contida no plano . - A projeção de
no plano é o conjunto de pontos que satisfazem (porque o cilindro não envolve ). - A orientação “anti-horário vista de cima” corresponde à normal da superfície com componente
positiva.
Passo 2
Escolha do método: vou usar o Teorema de Stokes (também chamado teorema da circulação), porque transforma a integral de linha fechada por
numa integral de superfície simples sobre a região plana limitada por
. Isso é conveniente porque
é a curva de interseção de um cilindro com um plano — logo o interior de
é uma região planar fácil de parametrizar. O teorema de Stokes diz que, para uma superfície
orientada cujo contorno é
,
onde
é o rotacional (curl) de
e
é o vetor área orientado da superfície. Vou escolher
como a parte do plano
limitada por
. Como a orientação da curva é anti-horária vista de cima, precisamos da normal de
que tem componente
positiva; o vetor normal da equação do plano é
, cuja componente
é positiva, então essa escolha está coerente.
Passo 3
Calcular o rotacional
. Para
com
o rotacional é
Calculemos cada derivada parcial:
Substituindo,
Passo 4
Escrever o elemento de superfície da parcela planar
. Como o plano pode ser escrito como função de
,
podemos usar a fórmula do vetor área orientado para superfície dada por
com orientação “para cima”:
onde
é o elemento de área no plano
. Aqui
logo
Observação: esse vetor
é precisamente o normal (não unitário) do plano
e tem componente
positiva, portanto corresponde à orientação desejada. Assim podemos escrever
onde
é a projeção de
no plano
, ou seja, a região dentro da curva
.
Passo 5
Calcular o produto escalar
. Como
,
Agora substituímos
por
(porque estamos integrando sobre a projeção no plano
):
Portanto a integral de superfície se reduz a
onde
.
Passo 6
Analisar a região
e simplificar a integral usando simetrias. A região
é uma elipse centrada em
com equação em termos de
:
Isto é a elipse com semi-eixos
ao longo de
e
ao longo de
. A área de
é
É útil observar que a elipse é simétrica em relação ao eixo
e ao eixo
. Assim, as integrais de
e de
sobre
são zero:
Como
, temos
Passo 7
Calcular a integral
usando os resultados anteriores.
Separe os termos:
Separe os termos:
Somando,
Passo 8
Concluir pelo Teorema de Stokes: a circulação pedida é igual à integral de superfície que calculámos, logo