\vec{F}(x, y, z)=\left(z^{2}+y^{2}+\operatorname{sen}\left(x^{2}\right)\right) \vec{i}+(2 x y+z) \vec{j}+(x z+2 y z) \vec{k} ; C é a curva de interseção do círculo (x-1)^{2}+4 y^{2}=16 com o plano 2 x+y+z=3, orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
\vec{F}(x,y,z)=\bigl(z^{2}+y^{2}+\operatorname{sen}(x^{2})\bigr)\,\vec{i}+(2xy+z)\,\vec{j}+(xz+2yz)\,\vec{k}
e a curva C definida como a interseção do cilindro (x-1)^{2}+4y^{2}=16 com o plano 2x+y+z=3. A curva é fechada e orientada no sentido anti-horário quando vista de cima (isto é, vista pelo eixo +z).
A tarefa implícita é calcular a circulação fechada
\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}.
Dados relevantes que extraí do enunciado:
  • A curva C é fechada e está contida no plano 2x+y+z=3.
  • A projeção de C no plano xy é o conjunto de pontos que satisfazem (x-1)^{2}+4y^{2}=16 (porque o cilindro não envolve z).
  • A orientação “anti-horário vista de cima” corresponde à normal da superfície com componente z positiva.

Passo 2

Escolha do método: vou usar o Teorema de Stokes (também chamado teorema da circulação), porque transforma a integral de linha fechada por C numa integral de superfície simples sobre a região plana limitada por C. Isso é conveniente porque C é a curva de interseção de um cilindro com um plano — logo o interior de C é uma região planar fácil de parametrizar. O teorema de Stokes diz que, para uma superfície S orientada cujo contorno é C,
\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\iint_{S}(\nabla\times\vec{F})\cdot \hat{n}\,dS,
onde \nabla\times\vec{F} é o rotacional (curl) de \vec{F} e \hat{n}\,dS é o vetor área orientado da superfície. Vou escolher S como a parte do plano 2x+y+z=3 limitada por C. Como a orientação da curva é anti-horária vista de cima, precisamos da normal de S que tem componente z positiva; o vetor normal da equação do plano é (2,1,1), cuja componente z é positiva, então essa escolha está coerente.

Passo 3

Calcular o rotacional \nabla\times\vec{F}. Para \vec{F}=(P,Q,R) com
P=z^{2}+y^{2}+\operatorname{sen}(x^{2}),\qquad Q=2xy+z,\qquad R=xz+2yz,
o rotacional é
\nabla\times\vec{F}=\Bigl(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\;\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\;\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr).
Calculemos cada derivada parcial:
\frac{\partial R}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(xz+2yz)=2z,
\frac{\partial Q}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(2xy+z)=1,
\frac{\partial P}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(z^{2}+y^{2}+\operatorname{sen}(x^{2}))=2z,
\frac{\partial R}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(xz+2yz)=z,
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(2xy+z)=2y,
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(z^{2}+y^{2}+\operatorname{sen}(x^{2}))=2y.
Substituindo,
\nabla\times\vec{F}=(2z-1,\;2z-z,\;2y-2y)=(2z-1,\;z,\;0).

Passo 4

Escrever o elemento de superfície da parcela planar S. Como o plano pode ser escrito como função de x,y,
z=f(x,y)=3-2x-y,
podemos usar a fórmula do vetor área orientado para superfície dada por z=f(x,y) com orientação “para cima”:
\hat{n}\,dS=(-f_x,-f_y,1)\,dA,
onde dA é o elemento de área no plano xy. Aqui
f_x=\frac{\partial}{\partial x}(3-2x-y)=-2,\qquad f_y=\frac{\partial}{\partial y}(3-2x-y)=-1,
logo
(-f_x,-f_y,1)=(2,1,1).
Observação: esse vetor (2,1,1) é precisamente o normal (não unitário) do plano 2x+y+z=3 e tem componente z positiva, portanto corresponde à orientação desejada. Assim podemos escrever
\iint_{S}(\nabla\times\vec{F})\cdot \hat{n}\,dS=\iint_{D}(\nabla\times\vec{F})\cdot(2,1,1)\,dA,
onde D é a projeção de S no plano xy, ou seja, a região dentro da curva (x-1)^{2}+4y^{2}=16.

Passo 5

Calcular o produto escalar (\nabla\times\vec{F})\cdot(2,1,1). Como \nabla\times\vec{F}=(2z-1,z,0),
(\nabla\times\vec{F})\cdot(2,1,1)=2(2z-1)+1\cdot z+1\cdot 0=4z-2+z=5z-2.
Agora substituímos z por f(x,y)=3-2x-y (porque estamos integrando sobre a projeção no plano xy):
5z-2=5(3-2x-y)-2=15-10x-5y-2=13-10x-5y.
Portanto a integral de superfície se reduz a
\iint_{D}(13-10x-5y)\,dA,
onde D=\{(x,y)\mid (x-1)^{2}+4y^{2}\le 16\}.

Passo 6

Analisar a região D e simplificar a integral usando simetrias. A região D é uma elipse centrada em (1,0) com equação em termos de u=x-1:
u^{2}+4y^{2}\le 16.
Isto é a elipse com semi-eixos a=4 ao longo de u e b=2 ao longo de y. A área de D é
\text{Area}(D)=\pi a b=\pi\cdot 4\cdot 2=8\pi.
É útil observar que a elipse é simétrica em relação ao eixo u=0 e ao eixo y=0. Assim, as integrais de u e de y sobre D são zero:
\iint_{D}u\,dA=0,\qquad \iint_{D}y\,dA=0.
Como x=u+1, temos
\iint_{D}x\,dA=\iint_{D}(u+1)\,dA=\iint_{D}u\,dA+\iint_{D}1\,dA=0+\text{Area}(D)=8\pi.

Passo 7

Calcular a integral \iint_{D}(13-10x-5y)\,dA usando os resultados anteriores.
Separe os termos:
\iint_{D}13\,dA=13\cdot\text{Area}(D)=13\cdot 8\pi=104\pi,
\iint_{D}-10x\,dA=-10\iint_{D}x\,dA=-10\cdot 8\pi=-80\pi,
\iint_{D}-5y\,dA=-5\iint_{D}y\,dA=-5\cdot 0=0.
Somando,
\iint_{D}(13-10x-5y)\,dA=104\pi-80\pi+0=24\pi.

Passo 8

Concluir pelo Teorema de Stokes: a circulação pedida é igual à integral de superfície que calculámos, logo
\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=24\pi.

Resposta

\;24\pi

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