Se (a)
e (b)
, prove que
é perpendicular a
.
Passo 1
Enunciado e dados: temos um campo vetorial dado por
. Ou seja, as componentes são
,
e
. O enunciado também diz que
(ou seja, o rotor pode ser diferente de zero), e pede para provar que
é perpendicular a
.
Informações relevantes listadas:
Informações relevantes listadas:
-
tem somente componentes nos eixos e e depende apenas de e . - A componente
de é nula: . - Queremos mostrar que o produto escalar entre
e é nulo (essa é a declaração de perpendicularidade).
Passo 2
Relembrando a definição componente a componente do rotor (curl) em coordenadas cartesianas: para um campo
,
Explico rapidamente: o rotor é um operador que combina derivadas parciais das componentes do campo; essas fórmulas vêm diretamente da expressão determinantal padrão para
.
Passo 3
Agora aplicamos as hipóteses do enunciado:
e as componentes
e
dependem apenas de
e
, ou seja, não dependem de
. Portanto
,
e
(porque
). Substituindo essas derivadas nas expressões das componentes do rotor obtemos:
onde a última pode ser diferente de
(é exatamente a quantidade que o enunciado chama de possível não-nulidade do rotor).
Passo 4
Concluímos que o rotor tem apenas componente na direção
. Escrevendo o vetor:
Isso significa que
é um vetor perpendicular ao plano
, apontando ao longo de
(para cima ou para baixo, dependendo do sinal da quantidade entre parênteses).
Passo 5
Para verificar perpendicularidade calculamos o produto escalar entre
e
. A regra do produto escalar em coordenadas cartesianas é
Aplicando a
e
temos
O produto escalar é zero, portanto os vetores são perpendiculares.
Passo 6
Comentário geométrico e observação útil: isso tem uma interpretação simples —
está contido no plano
(é tangente ao plano), enquanto
aponta na direção normal ao plano
(
). Vetores tangentes ao plano são sempre perpendiculares ao vetor normal. Note também que a hipótese
não é necessária para provar a perpendicularidade; ela só evita o caso trivial em que o rotor é o vetor nulo. Então a perpendicularidade vale sempre que
não tem componente
nem dependência de
.
Passo 7
Exemplo concreto (para fixar): escolha
e
. Então
logo
. E
. Funciona e é fácil de calcular na prova.