Se (a) \vec{V}=\hat{x} V_{x}(\mathrm{x}, \mathrm{y})+\hat{y} V_{y}(\mathrm{x}, \mathrm{y}) e (b) \nabla \times \vec{V} \neq 0, prove que \nabla \times \vec{V} é perpendicular a \vec{V}.

Passo 1

Enunciado e dados: temos um campo vetorial dado por \vec{V}=\hat{x}\,V_{x}(x,y)+\hat{y}\,V_{y}(x,y). Ou seja, as componentes são \;V_x=V_x(x,y), \;V_y=V_y(x,y) e \;V_z=0. O enunciado também diz que \nabla\times\vec{V}\neq 0 (ou seja, o rotor pode ser diferente de zero), e pede para provar que \nabla\times\vec{V} é perpendicular a \vec{V}.
Informações relevantes listadas:
  • \vec{V} tem somente componentes nos eixos \hat{x} e \hat{y} e depende apenas de x e y.
  • A componente z de \vec{V} é nula: \;V_z=0.
  • Queremos mostrar que o produto escalar entre \nabla\times\vec{V} e \vec{V} é nulo (essa é a declaração de perpendicularidade).

Passo 2

Relembrando a definição componente a componente do rotor (curl) em coordenadas cartesianas: para um campo \vec{V}=(V_x,V_y,V_z),
(\nabla\times\vec{V})_x=\frac{\partial V_z}{\partial y}-\frac{\partial V_y}{\partial z},
(\nabla\times\vec{V})_y=\frac{\partial V_x}{\partial z}-\frac{\partial V_z}{\partial x},
(\nabla\times\vec{V})_z=\frac{\partial V_y}{\partial x}-\frac{\partial V_x}{\partial y}.
Explico rapidamente: o rotor é um operador que combina derivadas parciais das componentes do campo; essas fórmulas vêm diretamente da expressão determinantal padrão para \nabla\times.

Passo 3

Agora aplicamos as hipóteses do enunciado: \;V_z=0 e as componentes \;V_x e \;V_y dependem apenas de x e y, ou seja, não dependem de z. Portanto \partial V_x/\partial z=0, \partial V_y/\partial z=0 e \partial V_z/\partial x=\partial V_z/\partial y=0 (porque V_z\equiv 0). Substituindo essas derivadas nas expressões das componentes do rotor obtemos:
(\nabla\times\vec{V})_x = \frac{\partial V_z}{\partial y}-\frac{\partial V_y}{\partial z}=0-0=0,
(\nabla\times\vec{V})_y = \frac{\partial V_x}{\partial z}-\frac{\partial V_z}{\partial x}=0-0=0,
(\nabla\times\vec{V})_z = \frac{\partial V_y}{\partial x}-\frac{\partial V_x}{\partial y},
onde a última pode ser diferente de 0 (é exatamente a quantidade que o enunciado chama de possível não-nulidade do rotor).

Passo 4

Concluímos que o rotor tem apenas componente na direção \hat{z}. Escrevendo o vetor:
\nabla\times\vec{V}=\hat{z}\left(\frac{\partial V_y}{\partial x}-\frac{\partial V_x}{\partial y}\right).
Isso significa que \nabla\times\vec{V} é um vetor perpendicular ao plano xy, apontando ao longo de \hat{z} (para cima ou para baixo, dependendo do sinal da quantidade entre parênteses).

Passo 5

Para verificar perpendicularidade calculamos o produto escalar entre \vec{V} e \nabla\times\vec{V}. A regra do produto escalar em coordenadas cartesianas é
\vec{A}\cdot\vec{B}=A_xB_x+A_yB_y+A_zB_z.
Aplicando a \vec{V}=(V_x,V_y,0) e \nabla\times\vec{V}=(0,0,\partial_x V_y-\partial_y V_x) temos
\vec{V}\cdot(\nabla\times\vec{V})=V_x\cdot 0 + V_y\cdot 0 + 0\cdot\Big(\frac{\partial V_y}{\partial x}-\frac{\partial V_x}{\partial y}\Big)=0.
O produto escalar é zero, portanto os vetores são perpendiculares.

Passo 6

Comentário geométrico e observação útil: isso tem uma interpretação simples — \vec{V} está contido no plano xy (é tangente ao plano), enquanto \nabla\times\vec{V} aponta na direção normal ao plano xy ( \hat{z}). Vetores tangentes ao plano são sempre perpendiculares ao vetor normal. Note também que a hipótese \nabla\times\vec{V}\neq 0 não é necessária para provar a perpendicularidade; ela só evita o caso trivial em que o rotor é o vetor nulo. Então a perpendicularidade vale sempre que \vec{V} não tem componente z nem dependência de z.

Passo 7

Exemplo concreto (para fixar): escolha \;V_x(x,y)=-y e \;V_y(x,y)=x. Então
\frac{\partial V_y}{\partial x}-\frac{\partial V_x}{\partial y}=1-(-1)=2,
logo \nabla\times\vec{V}=2\,\hat{z}. E \vec{V}\cdot(\nabla\times\vec{V})=(-y)\cdot 0 + x\cdot 0 + 0\cdot 2 = 0. Funciona e é fácil de calcular na prova.

Resposta

\vec{V}\cdot(\nabla\times\vec{V})=0

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