Se \vec{A}=\left(4 x^{3}-2 y z\right) \vec{i}+(2 y+4 x z) \vec{j}+\left(2+3 x y^{2} z^{2}\right) \vec{k}, calcule \int_{C} \vec{A} \cdot d \vec{r} de (0,0,0) a (1,1,1) ao longo de C: x=t^{2}, y=t e z=t^{3}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o integral de linha \int_{C} \vec{A}\cdot d\vec{r} ao longo da curva C que vai de (0,0,0) até (1,1,1).\n
Informações fornecidas:
\vec{A}=\bigl(4x^{3}-2yz\bigr)\,\vec{i} + \bigl(2y+4xz\bigr)\,\vec{j} + \bigl(2+3xy^{2}z^{2}\bigr)\,\vec{k}
A curva C é dada por
x=t^{2},\qquad y=t,\qquad z=t^{3},
e o enunciado mostra os pontos inicial e final: (0,0,0) quando t=0 e (1,1,1) quando t=1.\n
Portanto a integral é a integral de linha da forma \int_{C}\vec{A}\cdot d\vec{r} com o caminho paramétrico conhecido e os limites de parâmetro t entre 0 e 1.

Passo 2

Qual método usar e por quê (passo didático): como a curva está dada por uma parametrização \vec{r}(t) = (x(t),y(t),z(t)) com t variando de 0 a 1, o jeito direto e natural é usar a fórmula da integral de linha para campos vetoriais:
\int_{C}\vec{A}\cdot d\vec{r} = \int_{t_{0}}^{t_{1}} \vec{A}\bigl(\vec{r}(t)\bigr)\cdot \vec{r}\,'(t)\,dt.
Explicando a fórmula: \vec{r}(t) é o vetor posição ao longo da curva; \vec{r}\,'(t) é a derivada componente a componente (velocidade da curva); \vec{A}(\vec{r}(t)) é o campo \vec{A} avaliado nos pontos da curva (substituímos x,y,z pelas funções de t). Depois fazemos o produto escalar e integramos de t_{0} até t_{1}.\n
Aqui t_{0}=0 e t_{1}=1, porque em t=0 temos (0,0,0) e em t=1 temos (1,1,1).

Passo 3

Calculando \vec{r}(t) e \vec{r}\,'(t). A parametrização é
\vec{r}(t)=\bigl(t^{2},\,t,\,t^{3}\bigr).
Derivando componente a componente:
\vec{r}\,'(t)=\bigl(2t,\,1,\,3t^{2}\bigr).
Isso significa que d\vec{r}=\vec{r}\,'(t)\,dt=(2t\,\vec{i}+1\,\vec{j}+3t^{2}\,\vec{k})\,dt.

Passo 4

Avaliar \vec{A} ao longo da curva: substituímos x=t^{2}, y=t, z=t^{3} nas componentes de \vec{A}.\n
Componente i:
A_x=4x^{3}-2yz = 4(t^{2})^{3}-2\,(t)\,(t^{3}) = 4t^{6}-2t^{4}.
Componente j:
A_y=2y+4xz = 2t + 4\,(t^{2})\,(t^{3}) = 2t + 4t^{5}.
Componente k:
A_z=2+3xy^{2}z^{2} = 2 + 3\,(t^{2})\,(t^{2})\,(t^{6}) = 2 + 3t^{10}.
Logo
\vec{A}\bigl(\vec{r}(t)\bigr)=\bigl(4t^{6}-2t^{4},\;2t+4t^{5},\;2+3t^{10}\bigr).

Passo 5

Fazer o produto escalar \vec{A}(\vec{r}(t))\cdot \vec{r}\,'(t). Multiplicamos componente a componente e somamos:
\begin{aligned} \vec{A}(\vec{r}(t))\cdot \vec{r}\,'(t) &= (4t^{6}-2t^{4})\cdot(2t) + (2t+4t^{5})\cdot(1) + (2+3t^{10})\cdot(3t^{2}) \\\ &= 8t^{7}-4t^{5} + 2t + 4t^{5} + 6t^{2} + 9t^{12}. \end{aligned}
Agora simplificamos termos semelhantes: -4t^{5}+4t^{5}=0. Portanto
\vec{A}(\vec{r}(t))\cdot \vec{r}\,'(t) = 2t + 6t^{2} + 8t^{7} + 9t^{12}.

Passo 6

Montar a integral e integrar termo a termo. Temos
\int_{C}\vec{A}\cdot d\vec{r} = \int_{0}^{1} \bigl(2t + 6t^{2} + 8t^{7} + 9t^{12}\bigr)\,dt.
Regra de antiderivação usada (lembrando): para n\neq -1,
\int t^{n}\,dt = \frac{t^{n+1}}{n+1}.
Aplicando isso a cada termo:
\int 2t\,dt = t^{2},\qquad \int 6t^{2}\,dt = 2t^{3},\qquad \int 8t^{7}\,dt = t^{8},\qquad \int 9t^{12}\,dt = \frac{9}{13}t^{13}.
Portanto uma primitiva para o integrando é
F(t)=t^{2} + 2t^{3} + t^{8} + \frac{9}{13}t^{13}.

Passo 7

Avaliar a primitiva entre os limites 0 e 1:
F(1)-F(0) = \bigl(1^{2} + 2\cdot 1^{3} + 1^{8} + \tfrac{9}{13}\cdot 1^{13}\bigr) - 0.
Isso dá
1 + 2 + 1 + \frac{9}{13} = 4 + \frac{9}{13}.

Resposta

\displaystyle \frac{61}{13}

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