Se
, calcule
de
a
ao longo de
e
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o integral de linha
ao longo da curva
que vai de
até
.\n
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
A curva
é dada por
e o enunciado mostra os pontos inicial e final:
quando
e
quando
.\n
Portanto a integral é a integral de linha da forma com o caminho paramétrico conhecido e os limites de parâmetro
entre
e
.
Portanto a integral é a integral de linha da forma
Passo 2
Qual método usar e por quê (passo didático): como a curva está dada por uma parametrização
com
variando de
a
, o jeito direto e natural é usar a fórmula da integral de linha para campos vetoriais:
Explicando a fórmula:
é o vetor posição ao longo da curva;
é a derivada componente a componente (velocidade da curva);
é o campo
avaliado nos pontos da curva (substituímos
pelas funções de
). Depois fazemos o produto escalar e integramos de
até
.\n
Aqui e
, porque em
temos
e em
temos
.
Aqui
Passo 3
Calculando
e
. A parametrização é
Derivando componente a componente:
Isso significa que
.
Passo 4
Avaliar
ao longo da curva: substituímos
,
,
nas componentes de
.\n
Componente :
Componente
Componente
:
Componente
:
Logo
Passo 5
Fazer o produto escalar
. Multiplicamos componente a componente e somamos:
Agora simplificamos termos semelhantes:
. Portanto
Passo 6
Montar a integral e integrar termo a termo. Temos
Regra de antiderivação usada (lembrando): para
,
Aplicando isso a cada termo:
Portanto uma primitiva para o integrando é
Passo 7
Avaliar a primitiva entre os limites
e
:
Isso dá