Se \vec{B}=\vec{\nabla} \times \vec{A}, mortre que
\oiint_{S} \vec{B} \cdot d \vec{S}=0

Passo 1

O enunciado dá a relação \vec{B}=\vec{\nabla}\times\vec{A} e pede para mostrar que
\oiint_{S}\vec{B}\cdot d\vec{S}=0.
Informações relevantes que temos (assumidas pelo enunciado corretamente formulado):
  • S é uma superfície fechada que envolve um volume V.
  • d\vec{S} é o elemento de área sobre S, orientado para fora do volume (normal externo).
  • \vec{A}(\vec{r}) é um campo vetorial suficientemente suave (tipicamente com derivadas parciais contínuas de segunda ordem) no interior de V e numa vizinhança de S.
  • A tarefa é provar que o fluxo de \vec{B} através da superfície fechada S é zero.

Passo 2

Qual ferramenta usar? Uma boa ideia é transformar o integral de superfície num integral de volume, porque a identidade vetorial conhecida diz respeito à divergência do rotacional. O teorema apropriado é o Teorema da Divergência (ou Teorema de Gauss): para um campo vetorial \vec{F} suficientemente suave,
\oiint_{S}\vec{F}\cdot d\vec{S}=\iiint_{V}\nabla\cdot\vec{F}\,dV.
Aqui vou aplicar esse teorema com \vec{F}=\vec{B}. Explico melhor o que é cada símbolo: \nabla\cdot\vec{F} é a divergência de \vec{F} (uma função escalar), dV é o elemento de volume, e a superfície S deve ser fechada e regular para o teorema valer.

Passo 3

Aplicando o Teorema da Divergência com \vec{F}=\vec{B} obtemos
\oiint_{S}\vec{B}\cdot d\vec{S}=\iiint_{V}\nabla\cdot\vec{B}\,dV.
Portanto, para provar que o fluxo é zero basta mostrar que \nabla\cdot\vec{B}=0 em todo o volume V. Agora vamos calcular \nabla\cdot\vec{B} usando a definição de \vec{B}.

Passo 4

Vamos calcular \nabla\cdot(\nabla\times\vec{A}) de maneira componente a componente. Escreva \vec{A}=(A_x,A_y,A_z). O rotacional (curl) de \vec{A} tem componentes
\begin{aligned} (\nabla\times\vec{A})_x &= \frac{\partial A_z}{\partial y}-\frac{\partial A_y}{\partial z},\\[4pt] (\nabla\times\vec{A})_y &= \frac{\partial A_x}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial x},\\[4pt] (\nabla\times\vec{A})_z &= \frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y}. \end{aligned}
A divergência desse vetor é a soma das derivadas parciais das componentes:
\begin{aligned} \nabla\cdot(\nabla\times\vec{A}) &= \frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{\partial A_z}{\partial y}-\frac{\partial A_y}{\partial z}\right) + \frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{\partial A_x}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial x}\right) + \frac{\partial}{\partial z}\!\left(\frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y}\right). \end{aligned}]

Passo 5

Agora expandimos os termos e agrupamos as derivadas mistas:
\begin{aligned} \nabla\cdot(\nabla\times\vec{A}) &= \frac{\partial^2 A_z}{\partial x\partial y} - \frac{\partial^2 A_y}{\partial x\partial z} + \frac{\partial^2 A_x}{\partial y\partial z} - \frac{\partial^2 A_z}{\partial y\partial x}\\[4pt] &\quad + \frac{\partial^2 A_y}{\partial z\partial x} - \frac{\partial^2 A_x}{\partial z\partial y}. \end{aligned}
Observe que os termos se cancelam em pares porque as segundas derivadas mistas são iguais quando as funções são suficientemente suaves (teorema de Clairaut / Schwarz):
\frac{\partial^2 A_z}{\partial x\partial y} = \frac{\partial^2 A_z}{\partial y\partial x},\quad \frac{\partial^2 A_y}{\partial z\partial x} = \frac{\partial^2 A_y}{\partial x\partial z},\quad \frac{\partial^2 A_x}{\partial y\partial z} = \frac{\partial^2 A_x}{\partial z\partial y}.
Portanto cada termo tem seu negativo correspondente e a soma é zero. Concluímos que
\nabla\cdot(\nabla\times\vec{A})=0
em todo o domínio considerado (sob as hipóteses de suavidade de \vec{A}).]

Passo 6

Voltando ao integral do Passo 3, como \nabla\cdot\vec{B}=\nabla\cdot(\nabla\times\vec{A})=0, temos
\oiint_{S}\vec{B}\cdot d\vec{S}=\iiint_{V}0\,dV=0.
Intuição rápida e amiga: o rotacional mede circulação local (vorticidade), não cria fontes; por isso o fluxo total do rotacional através de uma superfície fechada é nulo — não há “saída líquida” associada ao curl.

Resposta

0

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