Se
, mortre que
Passo 1
O enunciado dá a relação
e pede para mostrar que
Informações relevantes que temos (assumidas pelo enunciado corretamente formulado):
-
é uma superfície fechada que envolve um volume . -
é o elemento de área sobre , orientado para fora do volume (normal externo). -
é um campo vetorial suficientemente suave (tipicamente com derivadas parciais contínuas de segunda ordem) no interior de e numa vizinhança de . - A tarefa é provar que o fluxo de
através da superfície fechada é zero.
Passo 2
Qual ferramenta usar? Uma boa ideia é transformar o integral de superfície num integral de volume, porque a identidade vetorial conhecida diz respeito à divergência do rotacional. O teorema apropriado é o Teorema da Divergência (ou Teorema de Gauss): para um campo vetorial
suficientemente suave,
Aqui vou aplicar esse teorema com
. Explico melhor o que é cada símbolo:
é a divergência de
(uma função escalar),
é o elemento de volume, e a superfície
deve ser fechada e regular para o teorema valer.
Passo 3
Aplicando o Teorema da Divergência com
obtemos
Portanto, para provar que o fluxo é zero basta mostrar que
em todo o volume
. Agora vamos calcular
usando a definição de
.
Passo 4
Vamos calcular
de maneira componente a componente. Escreva
. O rotacional (curl) de
tem componentes
A divergência desse vetor é a soma das derivadas parciais das componentes:
Passo 5
Agora expandimos os termos e agrupamos as derivadas mistas:
Observe que os termos se cancelam em pares porque as segundas derivadas mistas são iguais quando as funções são suficientemente suaves (teorema de Clairaut / Schwarz):
Portanto cada termo tem seu negativo correspondente e a soma é zero. Concluímos que
em todo o domínio considerado (sob as hipóteses de suavidade de
).]
Passo 6
Voltando ao integral do Passo 3, como
, temos
Intuição rápida e amiga: o rotacional mede circulação local (vorticidade), não cria fontes; por isso o fluxo total do rotacional através de uma superfície fechada é nulo — não há “saída líquida” associada ao curl.
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