Mostre que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a igualdade
As informações implícitas que temos (e que vou usar) são:
-
é uma região do espaço com fronteira suave orientada pela normal externa ; -
e são campos escalares suficientemente suaves (deriváveis) em até a ordem necessária; - O elemento de superfície vetorial é
, de modo que .
Não vou resolver nada ainda; apenas coloquei só o que o enunciado pede e os dados relevantes.
Passo 2
Vou usar uma ferramenta padrão de cálculo vetorial: o Teorema da Divergência (ou Gauss). Primeiro escrevo o enunciado desse teorema e explico cada pedaço:
onde
é um campo vetorial suficientemente suave em
.
Explicação das peças:
Explicação das peças:
-
é a divergência de ; dá uma função escalar em cada ponto que me diz “a taxa de saída” local do campo; -
com normal externa e área infinitesimal da superfície; - O teorema transforma uma integral de volume da divergência numa integral de superfície do próprio campo vetorial.
Esse é o teorema que relaciona integrais de volume com integrais de superfície, perfeito para ligar o lado esquerdo (integral de volume) com o lado direito (integral de superfície) do enunciado.
Passo 3
Escolho o campo vetorial a ser usado no teorema de Gauss. Uma escolha natural, que aparece no lado direito do enunciado, é
Comentário didático: aqui
é um escalar multiplicando o vetor gradiente
. Isso é permitido —
é um campo vetorial bem definido se
e
forem diferenciáveis.
Passo 4
Calculo a divergência de
. Uso a regra do produto para divergência (uma versão vetorial da regra do produto):
Explicando passo a passo:
-
é o produto escalar entre os gradientes de e de ; dá uma função escalar; -
é o laplaciano de , que é a divergência do gradiente: ; - A regra do produto (componentes) leva a essa soma: em coordenadas,
, somando em obtém-se a expressão acima.
Passo 5
Aplico o Teorema da Divergência à
escolhida:
Agora substituo a expressão da divergência que encontrei no Passo 4:
Ou seja, de forma explícita e organizada,
Importante: essa igualdade é a consequência direta e correta do teorema de Gauss aplicada a
.
Passo 6
Compare agora a identidade correta obtida no Passo 5 com a identidade que o enunciado pediu. O enunciado tem um sinal menos no segundo termo do integrando no volume:
Subtraindo as duas expressões (a correta do Passo 5 menos a expressão do enunciado) obtemos
Portanto, a diferença entre o lado esquerdo correto (obtido via divergência) e o lado esquerdo do enunciado é
Passo 7
Conclusão lógica e condição para que a igualdade do enunciado seja verdadeira:
- A identidade que sempre vale (para
diferenciáveis) é
- A identidade com sinal menos no integrando volumétrico (a do enunciado) só será verdadeira se e somente se
Isto é, ou
for identicamente zero no volume
(gradientes ortogonais ponto a ponto) ou se essa integral for zero por cancelamentos globais. Um caso simples e comum em que isso ocorre é quando
é constante em
, pois aí
e o termo cruzado some.
Passo 8
Um exemplo concreto e rápido para fixar:
- Tome
. Então e a identidade do enunciado fica
ou seja
que é precisamente o Teorema da Divergência aplicado a
. Então nesse caso particular (quando
é constante) a fórmula do enunciado é verdadeira.
Resposta
A igualdade com sinal menos em
só vale se
(por exemplo, se
, isto é,
constante).