Mostre que
\iiint_{V}\left(\varphi \nabla^{2} \psi-\vec{\nabla} \varphi \cdot \vec{\nabla} \psi\right) d V=\oiint_{S}(\varphi \vec{\nabla} \psi) \cdot d \vec{s}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a igualdade
\iiint_{V}\left(\varphi \nabla^{2} \psi-\vec{\nabla} \varphi \cdot \vec{\nabla} \psi\right) d V=\oiint_{S}(\varphi \vec{\nabla} \psi) \cdot d \vec{s}
As informações implícitas que temos (e que vou usar) são:
  • V é uma região do espaço com fronteira suave S orientada pela normal externa \vec{n};
  • \varphi e \psi são campos escalares suficientemente suaves (deriváveis) em V até a ordem necessária;
  • O elemento de superfície vetorial é d\vec{s}=\vec{n}\,dS, de modo que (\varphi\vec{\nabla}\psi)\cdot d\vec{s}=\varphi\,\dfrac{\partial \psi}{\partial n}\,dS.
    Não vou resolver nada ainda; apenas coloquei só o que o enunciado pede e os dados relevantes.

Passo 2

Vou usar uma ferramenta padrão de cálculo vetorial: o Teorema da Divergência (ou Gauss). Primeiro escrevo o enunciado desse teorema e explico cada pedaço:
\iiint_{V} \vec{\nabla}\cdot \vec{F}\, dV = \oiint_{S} \vec{F}\cdot d\vec{s},
onde \vec{F} é um campo vetorial suficientemente suave em V.
Explicação das peças:
  • \vec{\nabla}\cdot\vec{F} é a divergência de \vec{F}; dá uma função escalar em cada ponto que me diz “a taxa de saída” local do campo;
  • d\vec{s}=\vec{n}\,dS com \vec{n} normal externa e dS área infinitesimal da superfície;
  • O teorema transforma uma integral de volume da divergência numa integral de superfície do próprio campo vetorial.
    Esse é o teorema que relaciona integrais de volume com integrais de superfície, perfeito para ligar o lado esquerdo (integral de volume) com o lado direito (integral de superfície) do enunciado.

Passo 3

Escolho o campo vetorial a ser usado no teorema de Gauss. Uma escolha natural, que aparece no lado direito do enunciado, é
\vec{F}=\varphi\,\vec{\nabla}\psi.
Comentário didático: aqui \varphi é um escalar multiplicando o vetor gradiente \vec{\nabla}\psi. Isso é permitido — \vec{F} é um campo vetorial bem definido se \varphi e \psi forem diferenciáveis.

Passo 4

Calculo a divergência de \vec{F}=\varphi\,\vec{\nabla}\psi. Uso a regra do produto para divergência (uma versão vetorial da regra do produto):
\vec{\nabla}\cdot(\varphi\,\vec{\nabla}\psi)=\vec{\nabla}\varphi\cdot\vec{\nabla}\psi+\varphi\,\vec{\nabla}^{2}\psi.
Explicando passo a passo:
  • \vec{\nabla}\varphi\cdot\vec{\nabla}\psi é o produto escalar entre os gradientes de \varphi e de \psi; dá uma função escalar;
  • \vec{\nabla}^{2}\psi é o laplaciano de \psi, que é a divergência do gradiente: \vec{\nabla}^{2}\psi=\vec{\nabla}\cdot(\vec{\nabla}\psi);
  • A regra do produto (componentes) leva a essa soma: em coordenadas, \partial_i(\varphi\,\partial_i\psi)=\partial_i\varphi\,\partial_i\psi+\varphi\,\partial_i\partial_i\psi, somando em i obtém-se a expressão acima.

Passo 5

Aplico o Teorema da Divergência à \vec{F} escolhida:
\iiint_{V}\vec{\nabla}\cdot(\varphi\,\vec{\nabla}\psi)\,dV=\oiint_{S}(\varphi\,\vec{\nabla}\psi)\cdot d\vec{s}.
Agora substituo a expressão da divergência que encontrei no Passo 4:
\iiint_{V}\left(\vec{\nabla}\varphi\cdot\vec{\nabla}\psi+\varphi\,\vec{\nabla}^{2}\psi\right)dV=\oiint_{S}(\varphi\,\vec{\nabla}\psi)\cdot d\vec{s}.
Ou seja, de forma explícita e organizada,
\boxed{\displaystyle \iiint_{V}\left(\varphi\,\vec{\nabla}^{2}\psi+\vec{\nabla}\varphi\cdot\vec{\nabla}\psi\right)dV=\oiint_{S}(\varphi\,\vec{\nabla}\psi)\cdot d\vec{s}.}
Importante: essa igualdade é a consequência direta e correta do teorema de Gauss aplicada a \vec{F}=\varphi\vec{\nabla}\psi.

Passo 6

Compare agora a identidade correta obtida no Passo 5 com a identidade que o enunciado pediu. O enunciado tem um sinal menos no segundo termo do integrando no volume:
\iiint_{V}\left(\varphi\,\vec{\nabla}^{2}\psi-\vec{\nabla}\varphi\cdot\vec{\nabla}\psi\right)dV\quad\text{(enunciado)}.
Subtraindo as duas expressões (a correta do Passo 5 menos a expressão do enunciado) obtemos
\iiint_{V}\Big(\varphi\,\vec{\nabla}^{2}\psi+\vec{\nabla}\varphi\cdot\vec{\nabla}\psi\Big)dV-\iiint_{V}\Big(\varphi\,\vec{\nabla}^{2}\psi-\vec{\nabla}\varphi\cdot\vec{\nabla}\psi\Big)dV =2\iiint_{V}\vec{\nabla}\varphi\cdot\vec{\nabla}\psi\,dV.
Portanto, a diferença entre o lado esquerdo correto (obtido via divergência) e o lado esquerdo do enunciado é
2\iiint_{V}\vec{\nabla}\varphi\cdot\vec{\nabla}\psi\,dV.

Passo 7

Conclusão lógica e condição para que a igualdade do enunciado seja verdadeira:
  • A identidade que sempre vale (para \varphi,\psi diferenciáveis) é
\boxed{\displaystyle \iiint_{V}\left(\varphi\,\vec{\nabla}^{2}\psi+\vec{\nabla}\varphi\cdot\vec{\nabla}\psi\right)dV=\oiint_{S}(\varphi\,\vec{\nabla}\psi)\cdot d\vec{s}.}
  • A identidade com sinal menos no integrando volumétrico (a do enunciado) só será verdadeira se e somente se
\iiint_{V}\vec{\nabla}\varphi\cdot\vec{\nabla}\psi\,dV=0.
Isto é, ou \vec{\nabla}\varphi\cdot\vec{\nabla}\psi for identicamente zero no volume V (gradientes ortogonais ponto a ponto) ou se essa integral for zero por cancelamentos globais. Um caso simples e comum em que isso ocorre é quando \varphi é constante em V, pois aí \vec{\nabla}\varphi=\vec{0} e o termo cruzado some.

Passo 8

Um exemplo concreto e rápido para fixar:
  • Tome \varphi\equiv 1. Então \vec{\nabla}\varphi=\vec{0} e a identidade do enunciado fica
\iiint_{V}\left(1\cdot\vec{\nabla}^{2}\psi-0\right)dV=\oiint_{S}(1\cdot\vec{\nabla}\psi)\cdot d\vec{s},
ou seja
\iiint_{V}\vec{\nabla}^{2}\psi\,dV=\oiint_{S}\vec{\nabla}\psi\cdot d\vec{s},
que é precisamente o Teorema da Divergência aplicado a \vec{\nabla}\psi. Então nesse caso particular (quando \varphi é constante) a fórmula do enunciado é verdadeira.

Resposta

\displaystyle \iiint_{V}\left(\varphi\,\vec{\nabla}^{2}\psi+\vec{\nabla}\varphi\cdot\vec{\nabla}\psi\right)dV=\oiint_{S}(\varphi\,\vec{\nabla}\psi)\cdot d\vec{s}.
A igualdade com sinal menos em \vec{\nabla}\varphi\cdot\vec{\nabla}\psi só vale se \displaystyle \iiint_{V}\vec{\nabla}\varphi\cdot\vec{\nabla}\psi\,dV=0 (por exemplo, se \vec{\nabla}\varphi=\vec{0}, isto é, \varphi constante).

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