é a circunferência
. Determine
.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (vou listar tudo claramente):
- Foi dada a função vetor
. - Foi dito que esse
está sobre a circunferência . - O que se pede: determinar explicitamente a função
.
Informações extra relevantes que vêm do enunciado:
- A coordenada
do ponto é (peguei isso do enunciado). - A equação da circunferência é
(também do enunciado).
Passo 2
Substituir a coordenada
na equação da circunferência para relacionar
com
.
Coloco
em
. Ficamos com a equação
Agora vou desenvolver a parte
:
Portanto a equação vira
Passo 3
Isolar
e usar uma identidade trigonométrica básica.
Subtraindo
dos dois lados:
Aqui uso a identidade pitagórica trigonométrica fundamental:
. Dessa identidade segue que
Substituindo isso em cima:
Passo 4
Passar de
para
(raiz quadrada) e discutir os sinais.
Da equação
obtemos, ao extrair raiz quadrada,
Como
, a expressão correta é
No entanto, normalmente ao escrever soluções parametrizadas da circunferência usamos a forma mais simples, absorvendo o valor absoluto no sinal global. Isso dá as duas funções contínuas e usuais que parametram a circunferência:
Observação didática rápida: escolher
dá a parametrização padrão
que percorre a circunferência no sentido anti-horário quando
aumenta. Escolher
dá a mesma circunferência percorrida no sentido oposto.
Passo 5
Verificação rápida com um exemplo numérico (para ganhar confiança):
- Para
: , e com temos . Então , OK. - Para
: , e . Então , OK.
Esses cheques mostram que as fórmulas satisfazem a equação da circunferência.