(0,5) \vec{r}(t)=(3 \cos t, y(t)) é a circunferência x^{2}+y^{2}=9. Determine y(t).

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (vou listar tudo claramente):
  • Foi dada a função vetor \vec{r}(t) = (\,3\cos t,\; y(t)\,).
  • Foi dito que esse \vec{r}(t) está sobre a circunferência \;x^{2}+y^{2}=9.
  • O que se pede: determinar explicitamente a função y(t).
Informações extra relevantes que vêm do enunciado:
  • A coordenada x do ponto é x(t)=3\cos t (peguei isso do enunciado).
  • A equação da circunferência é \;x^{2}+y^{2}=9 (também do enunciado).

Passo 2

Substituir a coordenada x(t) na equação da circunferência para relacionar y(t) com t.
Coloco x(t)=3\cos t em \;x^{2}+y^{2}=9. Ficamos com a equação
(3\cos t)^{2}+y(t)^{2}=9.
Agora vou desenvolver a parte (3\cos t)^{2}:
(3\cos t)^{2}=9\cos^{2}t.
Portanto a equação vira
9\cos^{2}t + y(t)^{2}=9.

Passo 3

Isolar y(t)^{2} e usar uma identidade trigonométrica básica.
Subtraindo 9\cos^{2}t dos dois lados:
y(t)^{2}=9-9\cos^{2}t=9\bigl(1-\cos^{2}t\bigr).
Aqui uso a identidade pitagórica trigonométrica fundamental: \sin^{2}t+\cos^{2}t=1. Dessa identidade segue que
1-\cos^{2}t=\sin^{2}t.
Substituindo isso em cima:
y(t)^{2}=9\sin^{2}t.

Passo 4

Passar de y(t)^{2} para y(t) (raiz quadrada) e discutir os sinais.
Da equação \;y(t)^{2}=9\sin^{2}t obtemos, ao extrair raiz quadrada,
y(t)=\pm\sqrt{9\sin^{2}t}.
Como \sqrt{9\sin^{2}t}=3\sqrt{\sin^{2}t}=3|\sin t|, a expressão correta é
y(t)=\pm 3|\sin t|.
No entanto, normalmente ao escrever soluções parametrizadas da circunferência usamos a forma mais simples, absorvendo o valor absoluto no sinal global. Isso dá as duas funções contínuas e usuais que parametram a circunferência:
y(t)=3\sin t \qquad\text{ou}\qquad y(t)=-3\sin t.
Observação didática rápida: escolher y(t)=3\sin t dá a parametrização padrão (3\cos t,3\sin t) que percorre a circunferência no sentido anti-horário quando t aumenta. Escolher y(t)=-3\sin t dá a mesma circunferência percorrida no sentido oposto.

Passo 5

Verificação rápida com um exemplo numérico (para ganhar confiança):
  • Para t=0: x(0)=3\cos0=3, e com y(t)=3\sin t temos y(0)=0. Então x^{2}+y^{2}=3^{2}+0^{2}=9, OK.
  • Para t=\pi/2: x=\;3\cos(\pi/2)=0, e y=3\sin(\pi/2)=3. Então 0^{2}+3^{2}=9, OK.
Esses cheques mostram que as fórmulas satisfazem a equação da circunferência.

Resposta

y(t)=3\sin t
y(t)=-3\sin t

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