(0,5) Determine o raio r da circunferência que é a curva de nível k=2 do cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos:
  • Queremos determinar o raio r da circunferência que é a curva de nível k=2 do cone dado por z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
  • Informação dada: a superfície é o cone \,z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\, e o valor do nível é k=2.
  • Pergunta clara: encontrar o raio da curva (no plano z=2) definida por esse nível.

Passo 2

Entender o que é “curva de nível” aqui:
  • Para uma função de duas variáveis f(x,y) a curva de nível de valor k é o conjunto de pontos (x,y) tais que f(x,y)=k.
  • No nosso caso a função de x,y é f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. A curva de nível k=2 é o conjunto de (x,y) que satisfazem
\sqrt{x^{2}+y^{2}}=2.

Passo 3

Resolver a equação da curva de nível:
  • Temos a equação em termos de raiz quadrada. Como ambos os lados são não negativos, podemos elevar ao quadrado sem introduzir soluções extranhas. Então elevando ambos os lados ao quadrado obtemos
x^{2}+y^{2}=2^{2}.

Passo 4

Simplificar a equação resultante:
  • Calcule o quadrado de 2:
x^{2}+y^{2}=4.

Passo 5

Interpretar geometricamente a equação:
  • A equação \,x^{2}+y^{2}=4\, é a equação de uma circunferência no plano xy com centro na origem (0,0) e raio igual a \sqrt{4}.
  • Portanto o raio é
r=\sqrt{4}=2.

Passo 6

Observação adicional (útil para a prova):
  • Em notação polar x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta a função do cone é z=r. A curva de nível z=k corresponde diretamente a r=k. Assim, para qualquer nível positivo k o raio da circunferência é k. No nosso caso k=2 r=2. Isso é rápido de usar em exercícios similares — guarda essa dica!

Resposta

2

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