Determine o raio
da circunferência que é a curva de nível
do cone
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos:
- Queremos determinar o raio
da circunferência que é a curva de nível do cone dado por . - Informação dada: a superfície é o cone
e o valor do nível é . - Pergunta clara: encontrar o raio da curva (no plano
) definida por esse nível.
Passo 2
Entender o que é “curva de nível” aqui:
- Para uma função de duas variáveis
a curva de nível de valor é o conjunto de pontos tais que . - No nosso caso a função de
é . A curva de nível é o conjunto de que satisfazem
Passo 3
Resolver a equação da curva de nível:
- Temos a equação em termos de raiz quadrada. Como ambos os lados são não negativos, podemos elevar ao quadrado sem introduzir soluções extranhas. Então elevando ambos os lados ao quadrado obtemos
Passo 4
Simplificar a equação resultante:
- Calcule o quadrado de
:
Passo 5
Interpretar geometricamente a equação:
- A equação
é a equação de uma circunferência no plano com centro na origem e raio igual a . - Portanto o raio é
Passo 6
Observação adicional (útil para a prova):
- Em notação polar
a função do cone é . A curva de nível corresponde diretamente a . Assim, para qualquer nível positivo o raio da circunferência é . No nosso caso dá . Isso é rápido de usar em exercícios similares — guarda essa dica!