(0,5) Determine uma equação reduzida da forma: z=a x+b y+c, para o plano que é a superfície de nível k=-2 de w=2 x+2 y-2 z.

Passo 1

O enunciado fornece a função escalar \,w(x,y,z)=2x+2y-2z\, e pede: determinar uma equação reduzida da forma \,z=a x+b y+c\, para o plano que é a superfície de nível \,k=-2 de w.
Informações relevantes dadas:
  • A função: \,w(x,y,z)=2x+2y-2z\,.
  • O nível pedido: \,k=-2.
  • A forma desejada da equação do plano: \,z=a x+b y+c\,.
    Pergunta explícita: encontrar os valores de \,a, \,b e \,c (ou, equivalentemente, escrever a equação z=\dots) que representam a superfície de nível \,w=-2.

Passo 2

Entender o que significa "superfície de nível \,k=-2": é o conjunto de pontos (x,y,z) que satisfazem
w(x,y,z)= -2.
Portanto, para nossa função devemos impor
2x+2y-2z = -2.

Passo 3

Agora vamos manipular algebricamente a equação \,2x+2y-2z=-2\, para isolarmos z. Primeiro observe que todos os termos têm fator comum 2; podemos dividir ambos os lados da igualdade por 2. Isso é permitido porque dividir igualdades por um número diferente de zero preserva a igualdade. Dividindo por 2 obtemos
x+y-z = -1.

Passo 4

Isolamos z na equação \,x+y-z=-1. Para isso somamos z e subtraímos -1 (ou reorganizamos os termos):
x+y+1 = z.
Escrito na forma padrão pedida \,z=a x+b y+c\,, temos
z = 1\cdot x + 1\cdot y + 1.

Passo 5

Interpretação didática (como aplicar isso numa prova): quando w é uma função linear das coordenadas (x,y,z) como \,w= \alpha x+\beta y+\gamma z + \delta\,, a superfície de nível \,w=k\, é um plano definido pela equação linear \,\alpha x+\beta y+\gamma z+\delta=k. Para colocar na forma reduzida em função de z basta isolar z, isto é, resolver a igualdade para z dividindo por \gamma (se \gamma\neq0) e reorganizando. Aqui \gamma=-2, por isso foi possível isolar z de maneira simples. Dica prática: sempre verifique se é possível dividir pelo coeficiente da variável que se quer isolar (aqui -2\neq0).

Passo 6

Checagem rápida: substituindo z=x+y+1 na expressão original de w deve-se obter -2. De fato,
w=2x+2y-2z = 2x+2y-2(x+y+1) = 2x+2y-2x-2y-2 = -2,
confirmando que a equação encontrada é correta.

Resposta

z = x + y + 1

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