Determine uma equação reduzida da forma:
, para o plano que é a superfície de nível
de
.
Passo 1
O enunciado fornece a função escalar
e pede: determinar uma equação reduzida da forma
para o plano que é a superfície de nível
de
.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- A função:
. - O nível pedido:
. - A forma desejada da equação do plano:
.
Pergunta explícita: encontrar os valores de, e (ou, equivalentemente, escrever a equação ) que representam a superfície de nível .
Passo 2
Entender o que significa "superfície de nível
": é o conjunto de pontos
que satisfazem
Portanto, para nossa função devemos impor
Passo 3
Agora vamos manipular algebricamente a equação
para isolarmos
. Primeiro observe que todos os termos têm fator comum
; podemos dividir ambos os lados da igualdade por
. Isso é permitido porque dividir igualdades por um número diferente de zero preserva a igualdade. Dividindo por
obtemos
Passo 4
Isolamos
na equação
. Para isso somamos
e subtraímos
(ou reorganizamos os termos):
Escrito na forma padrão pedida
, temos
Passo 5
Interpretação didática (como aplicar isso numa prova): quando
é uma função linear das coordenadas
como
, a superfície de nível
é um plano definido pela equação linear
. Para colocar na forma reduzida em função de
basta isolar
, isto é, resolver a igualdade para
dividindo por
(se
) e reorganizando. Aqui
, por isso foi possível isolar
de maneira simples. Dica prática: sempre verifique se é possível dividir pelo coeficiente da variável que se quer isolar (aqui
).
Passo 6
Checagem rápida: substituindo
na expressão original de
deve-se obter
. De fato,
confirmando que a equação encontrada é correta.