Se \vec{u}=(2,1,-2) e \vec{v}=(3,1,-1) são vetores diretores de um plano \pi e P=(-1,2,1) \in \pi, então a equação geral de \pi é:
a. x+4 y+z-8=0
b. x+8 y+5 z-20=0
c. 3 x+8 y-z-12=0
d. x-4 y-z+10=0
e. 3 x+4 y-5 z=0

Passo 1

O enunciado nos dá dois vetores diretores do plano \pi,
\vec{u}=(2,1,-2) e \vec{v}=(3,1,-1),
e um ponto P=(-1,2,1) que pertence a \pi.
Queremos a equação geral de \pi.
Conteúdo: vetor normal a um plano dado por dois vetores diretores e equação cartesiana de um plano.

Passo 2

Para achar um vetor normal \vec{n} ao plano, usamos o produto vetorial
\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v}
Calculando
\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\[6pt] 2 & 1 & -2 \\[3pt] 3 & 1 & -1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}\,(1 \cdot (-1) - (-2) \cdot 1) - \mathbf{j}\,(2 \cdot (-1) - (-2) \cdot 3) + \mathbf{k}\,(2 \cdot 1 - 1 \cdot 3).
Logo
\vec{n} = (1,\,-4,\,-1).]

Passo 3

A forma ponto–normal de um plano é
\vec{n}\cdot\bigl((x,y,z)-P\bigr)=0,
ou seja
(1,\,-4,\,-1)\cdot\bigl((x,y,z)-(-1,2,1)\bigr)=0.

Passo 4

Substituindo (x,y,z)-(-1,2,1)=(x+1,y-2,z-1), temos
1\,(x+1) -4\,(y-2) -1\,(z-1)=0.
Expandindo e coletando termos:
x+1 -4y+8 -z+1=0 \quad\Longrightarrow\quad x -4y -z +10=0.

Resposta

(d) x - 4y - z + 10 = 0

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