Determine a equação geral do plano que contém a reta r: X=(-1,4,13)+\lambda(-1,-2,4) e o ponto P=(-1,-2,3)
a. -22 x-5 y+3 z-41
b. -2 x-5 y+3 z-21
c. 22 x-5 y+3 z+3=
d. 2 x-5 y+3 z-17=

Passo 1

O enunciado pede a equação geral do plano que contém a reta
r: X = (-1,4,13) + \lambda(-1,-2,4)
e o ponto P = (-1,-2,3).
O conteúdo é geometria analítica no espaço: vamos usar dois vetores diretores do plano, calcular seu produto vetorial para obter o vetor normal e, por fim, montar a equação do plano.

Passo 2

Escolhemos como ponto da reta A = (-1,4,13) e extraímos seu vetor diretor
\mathbf{v}=(-1,-2,4).
Como segundo vetor diretor do plano, usamos
\mathbf{AP} = P - A = (-1,-2,3) - (-1,4,13) = (0,-6,-10).

Passo 3

O vetor normal \mathbf{n} do plano é dado pelo produto vetorial
\mathbf{n} = \mathbf{v}\times\mathbf{AP} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ -1 & -2 & 4 \\\\ 0 & -6 & -10 \end{vmatrix} = (44,\,-10,\,6).
Podemos simplificar dividindo por 2:
\mathbf{n} = (22,\,-5,\,3).

Passo 4

Usamos a forma
\mathbf{n}\cdot (X - A) = 0
com A = (-1,4,13). Logo,
22\bigl(x+1\bigr) \;-\;5\bigl(y-4\bigr)\;+\;3\bigl(z-13\bigr)=0
Expandindo:
22x+22 -5y+20 +3z-39 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 22x -5y +3z +3 = 0.

Resposta

(c) 22x -5y +3z +3 = 0

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