Determine a equação geral do plano que passa pelos pontos A=(-1,-2,-1),
B=(2,3,1) e
C=(3,-1,1).
a. 10 x-6 y-17 z-19
b. 8 x+2 y-5 z-17=
c. 8 x+2 y-13 z-9=
d. -2 x-6 y+7 z-7=
e. 8 x+2 y-17 z-5=

Passo 1

O enunciado pede a equação geral do plano que passa por A=(-1,-2,-1), B=(2,3,1) e C=(3,-1,1). Para isso precisamos usar vetores no plano e produto vetorial para obter um vetor normal ao plano, e então montar a equação n\cdot (X - A)=0.

Passo 2

Construímos dois vetores do plano a partir de A:
\vec{AB} = B - A = (2 - (-1),\,3 - (-2),\,1 - (-1)) = (3,\,5,\,2),
\vec{AC} = C - A = (3 - (-1),\,-1 - (-2),\,1 - (-1)) = (4,\,1,\,2).

Passo 3

O vetor normal \vec{n} é dado pelo produto vetorial \vec{AB}\times \vec{AC}. Calculando os componentes:
\vec{n} = \vec{AB}\times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ 3 & 5 & 2\\\\ 4 & 1 & 2 \end{vmatrix} = (\;5\cdot2 - 2\cdot1,\;-\,(3\cdot2 - 2\cdot4),\;3\cdot1 - 5\cdot4\; ) = (8,\;2,\;-17).

Passo 4

A equação do plano com normal \vec{n}=(8,2,-17) passando por A satisfaz
8\,(x+1) + 2\,(y+2) -17\,(z+1) = 0.

Passo 5

Desenvolvendo e agrupando termos:
8x + 8 + 2y + 4 -17z -17 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 8x + 2y -17z -5 = 0.
Essa forma coincide com a alternativa (e).

Resposta

(e)

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