Dentre as funções a seguir, verifique quais são transformações lineares. Justifique sua resposta.
T: M_{2 \times 2} \rightarrow \mathbb{R} \quad, \quad T\left[\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right]=\left|\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right|

Passo 1

O enunciado dá a transformação T: M_{2\times2}\to\mathbb{R} definida por
T\!\left(\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix}\right)=\left|\begin{matrix}a & b \\[4pt] c & d\end{matrix}\right|.
A pergunta é: verificar se T é uma transformação linear (ou seja, decidir se T é linear) e justificar a resposta. As informações relevantes são a definição do espaço de entrada M_{2\times2} e a fórmula do valor de T como o determinante da matriz.]

Passo 2

O que significa “ser transformação linear”: devemos testar duas propriedades que valem para todo X,Y\in M_{2\times2} e todo escalar \lambda\in\mathbb{R}:
\text{(i) aditividade: }\;T(X+Y)=T(X)+T(Y),
\text{(ii) homogeneidade: }\;T(\lambda X)=\lambda\,T(X).
Se alguma dessas falhar para algum X,Y ou \lambda, então T não é linear. Vou testar ambas com exemplos simples (contraexemplos).

Passo 3

Lembrando como são operações em M_{2\times2}:
Para
X=\begin{pmatrix}x_{11} & x_{12}\\[4pt] x_{21} & x_{22}\end{pmatrix},\qquad Y=\begin{pmatrix}y_{11} & y_{12}\\[4pt] y_{21} & y_{22}\end{pmatrix},
temos soma
X+Y=\begin{pmatrix}x_{11}+y_{11} & x_{12}+y_{12}\\[4pt] x_{21}+y_{21} & x_{22}+y_{22}\end{pmatrix}
e multiplicação por escalar \lambda X=\begin{pmatrix}\lambda x_{11} & \lambda x_{12}\\[4pt]\lambda x_{21} & \lambda x_{22}\end{pmatrix}.]

Passo 4

Fórmula prática do determinante de uma matriz 2\times2:
\det\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix}=ad-bc.
Uma propriedade importante do determinante para matrizes 2\times2 é que, ao multiplicar a matriz por um escalar \lambda, o determinante escala como \lambda^2:
\det(\lambda A)=\lambda^2\det(A)\quad\text{(pois \(n=2\) e \(\det(\lambda A)=\lambda^n\det(A)\)).}
Isso já sugere que a homogeneidade linear T(\lambda A)=\lambda T(A) pode falhar, porque aparece \lambda^2 em vez de \lambda. Mas vamos demonstrar com um exemplo concreto. Também é sabido que o determinante não é, em geral, aditivo: \det(A+B)\neq\det(A)+\det(B) em geral; vamos mostrar isso com exemplo.]

Passo 5

Contraexemplo para aditividade. Tome
A=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
Calculamos
T(A)=\det(A)=1\cdot1-0\cdot0=1,
T(B)=\det(B)=1.
Logo
T(A)+T(B)=1+1=2.
Agora A+B é
A+B=\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt] 0 & 2\end{pmatrix}=2\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
Então
T(A+B)=\det\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt] 0 & 2\end{pmatrix}=2\cdot2-0\cdot0=4.
Como T(A+B)=4\neq2=T(A)+T(B), a propriedade de aditividade falha. Portanto T não satisfaz (i).]

Passo 6

Contraexemplo para homogeneidade (mostra também a falha geral): tome \lambda=2 e A igual à identidade usada antes,
A=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
Temos
T(A)=\det(A)=1,
enquanto, usando a propriedade \det(\lambda A)=\lambda^2\det(A),
T(2A)=\det(2A)=2^2\det(A)=4\cdot1=4.
Mas \,2\,T(A)=2\cdot1=2. Como T(2A)=4\neq2=2T(A), a homogeneidade linear T(\lambda A)=\lambda T(A) também falha em geral. Assim T não satisfaz (ii) para todos os escalares e matrizes.]

Passo 7

Conclusão didática: mostramos explicitamente que tanto a aditividade quanto a homogeneidade podem falhar para o determinante como função de M_{2\times2} em \mathbb{R}. Portanto T não é uma transformação linear. Observação pedagógica rápida: o determinante é multilinear nas linhas (ou colunas) separadamente — isto é, é linear em cada linha se as outras linhas ficarem fixas — mas isso não implica linearidade quando tratamos a matriz inteira como um único vetor em M_{2\times2}.

Resposta

T não é transformação linear.

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