Classifique as afirmações em Verdadeiro ou Falso
Existe \vec{u} tal que \vec{u}=(-\vec{u})

Passo 1

O enunciado pede para classificar se a afirmação "Existe \vec{u} tal que \vec{u}=(-\vec{u})" é verdadeira ou falsa.
Informações dadas: existe o quantificador “existe”, temos um vetor desconhecido \vec{u} e a igualdade entre \vec{u} e o seu negativo -\vec{u}. Não há outras restrições explícitas no enunciado (por exemplo, o espaço vetorial não foi especificado).

Passo 2

Vamos lembrar o significado das notações usadas, devagarinho e com exemplos:
  • \vec{u} é um vetor qualquer. Por exemplo, em \mathbb{R}^2 pode ser \vec{u}=(1,2).
  • -\vec{u} é o oposto (inverso aditivo) de \vec{u}. Em \mathbb{R}^2 o oposto de (1,2) é (-1,-2). O oposto é definido pela propriedade
\vec{u}+(-\vec{u})=\vec{0},
onde \vec{0} é o vetor nulo (por exemplo (0,0) em \mathbb{R}^2).
  • A igualdade \vec{u}=-\vec{u} significa que cada componente de \vec{u} é igual à componente correspondente de -\vec{u}.

Passo 3

Partimos da hipótese algebraica \vec{u}=-\vec{u} e fazemos operações vetoriais válidas: somamos \vec{u} aos dois lados da igualdade. Isso dá
\vec{u}+\vec{u}= -\vec{u}+\vec{u}.
No lado direito, pela definição de oposto, -\vec{u}+\vec{u}=\vec{0}. Assim obtemos
\vec{u}+\vec{u}=\vec{0}.

Passo 4

Reconhecemos \vec{u}+\vec{u} como a multiplicação do vetor por 2: isto é,
2\vec{u}=\vec{0}.
Aqui 2\vec{u} quer dizer \vec{u}+\vec{u}. Agora usamos uma propriedade básica de espaços vetoriais sobre um corpo onde 2\neq 0 (por exemplo, sobre \mathbb{R}): se \alpha\vec{v}=\vec{0} com \alpha\neq 0, então necessariamente \vec{v}=\vec{0}. Aplicando com \alpha=2 e \vec{v}=\vec{u}, concluímos
\vec{u}=\vec{0}.
(Se você quiser ver o porquê rápido: multiplica-se ambos os lados por 1/2, obtendo \vec{u} = (1/2)\vec{0} = \vec{0}.)

Passo 5

Verificamos que \vec{u}=\vec{0} de fato satisfaz a igualdade original, porque o oposto do vetor nulo é ele próprio:
-\vec{0}=\vec{0}.
Logo \vec{0} = -\vec{0} é um exemplo concreto que torna a afirmação "existe \vec{u} tal que \vec{u}=-\vec{u}" verdadeira.

Passo 6

Concluímos também que esse é o único exemplo possível (unicidade): qualquer vetor que satisfaça \vec{u}=-\vec{u} precisa ser o vetor nulo, conforme mostramos nos passos anteriores. Portanto existe pelo menos um (e na verdade exatamente um) vetor com essa propriedade.

Passo 7

Uma exceção técnica aparece se estivermos num espaço vetorial sobre um corpo onde 2=0 (isto é, de característica 2); nesse caso -\vec{u}=\vec{u} para todo \vec{u} e a igualdade seria satisfeita por qualquer vetor. Mas em contextos usuais de graduação (espaços sobre \mathbb{R} ou \mathbb{Q}) usamos a conclusão acima: apenas \vec{0} funciona.

Resposta

Verdadeiro

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