Classifique as afirmações em Verdadeiro ou Falso
Existe
tal que
Existe
Passo 1
O enunciado pede para classificar se a afirmação "Existe
tal que
" é verdadeira ou falsa.
Informações dadas: existe o quantificador “existe”, temos um vetor desconhecido e a igualdade entre
e o seu negativo
. Não há outras restrições explícitas no enunciado (por exemplo, o espaço vetorial não foi especificado).
Informações dadas: existe o quantificador “existe”, temos um vetor desconhecido
Passo 2
Vamos lembrar o significado das notações usadas, devagarinho e com exemplos:
-
é um vetor qualquer. Por exemplo, em pode ser . -
é o oposto (inverso aditivo) de . Em o oposto de é . O oposto é definido pela propriedade
onde
é o vetor nulo (por exemplo
em
).
- A igualdade
significa que cada componente de é igual à componente correspondente de .
Passo 3
Partimos da hipótese algebraica
e fazemos operações vetoriais válidas: somamos
aos dois lados da igualdade. Isso dá
No lado direito, pela definição de oposto,
. Assim obtemos
Passo 4
Reconhecemos
como a multiplicação do vetor por
: isto é,
Aqui
quer dizer
. Agora usamos uma propriedade básica de espaços vetoriais sobre um corpo onde
(por exemplo, sobre
): se
com
, então necessariamente
. Aplicando com
e
, concluímos
(Se você quiser ver o porquê rápido: multiplica-se ambos os lados por
, obtendo
.)
Passo 5
Verificamos que
de fato satisfaz a igualdade original, porque o oposto do vetor nulo é ele próprio:
Logo
é um exemplo concreto que torna a afirmação "existe
tal que
" verdadeira.
Passo 6
Concluímos também que esse é o único exemplo possível (unicidade): qualquer vetor que satisfaça
precisa ser o vetor nulo, conforme mostramos nos passos anteriores. Portanto existe pelo menos um (e na verdade exatamente um) vetor com essa propriedade.
Passo 7
Uma exceção técnica aparece se estivermos num espaço vetorial sobre um corpo onde
(isto é, de característica
); nesse caso
para todo
e a igualdade seria satisfeita por qualquer vetor. Mas em contextos usuais de graduação (espaços sobre
ou
) usamos a conclusão acima: apenas
funciona.
Resposta
Verdadeiro