Se \vec{u}=3 \vec{i}-2 \vec{j}-2 \vec{k}, \vec{v}=4 \vec{i}+\vec{j}-\vec{k} e \vec{w}=\vec{i}-\vec{k}, determinar:
(h) (\vec{u}+\vec{v}) \times \vec{w}

Passo 1

O enunciado dá três vetores e pede para calcular uma operação entre eles (item (h)):
\vec{u}=3\vec{i}-2\vec{j}-2\vec{k},\qquad \vec{v}=4\vec{i}+\vec{j}-\vec{k},\qquad \vec{w}=\vec{i}-\vec{k}.
A pergunta específica é: calcular (\vec{u}+\vec{v})\times\vec{w}.

Passo 2

Primeiro somamos \vec{u} e \vec{v} componente a componente (sempre somamos as componentes correspondentes: i com i, j com j, k com k):
\vec{u}+\vec{v} = (3+4)\vec{i}+(-2+1)\vec{j}+(-2-1)\vec{k}.
Fazendo as contas:
\vec{u}+\vec{v} = 7\vec{i}-\vec{j}-3\vec{k}.
Em coordenadas (componentes) temos \vec{u}+\vec{v} = (7,\,-1,\,-3) e \vec{w}=(1,\,0,\,-1).

Passo 3

Agora precisamos do produto vetorial (cross product). Vou explicar como calcular de forma prática e confiável.
Sejam \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3). O produto vetorial \vec{a}\times\vec{b} pode ser calculado por:
\vec{a}\times\vec{b}= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\\ a_1 & a_2 & a_3 \\\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix},
que resulta em componente a componente pela fórmula
\vec{a}\times\vec{b}=\big(a_2b_3-a_3b_2,\;a_3b_1-a_1b_3,\;a_1b_2-a_2b_1\big).
Aqui cada a_i e b_i é a componente correspondente dos vetores: a_1 é a componente em \vec{i}, a_2 em \vec{j}, a_3 em \vec{k}, e idem para b_i. O resultado é um vetor cujas componentes são essas três expressões. Um bom truque mental: compute cada componente como uma diferença de produtos cruzados das outras duas componentes.

Passo 4

Aplicamos a fórmula com \vec{a}=\vec{u}+\vec{v}=(7,-1,-3) e \vec{b}=\vec{w}=(1,0,-1).
Calculemos as três componentes:
  1. Componente em \vec{i}:
a_2b_3-a_3b_2 = (-1)\cdot(-1)-(-3)\cdot 0 = 1-0 = 1.
  1. Componente em \vec{j}:
a_3b_1-a_1b_3 = (-3)\cdot 1 - 7\cdot(-1) = -3 + 7 = 4.
  1. Componente em \vec{k}:
a_1b_2-a_2b_1 = 7\cdot 0 - (-1)\cdot 1 = 0 + 1 = 1.
Portanto
(\vec{u}+\vec{v})\times\vec{w} = 1\vec{i}+4\vec{j}+1\vec{k}.

Passo 5

Uma checagem rápida: o produto vetorial deve ser perpendicular a \vec{w}. Fazemos o produto escalar entre o resultado e \vec{w}:
(1,4,1)\cdot(1,0,-1)=1\cdot 1 + 4\cdot 0 + 1\cdot(-1)=1-1=0,
confirmando que o vetor obtido é ortogonal a \vec{w}. Bom sinal de que não cometemos cálculo errado.

Resposta

\vec{i}+4\vec{j}+\vec{k}

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