Q11: Considere o subespaço
definido por:
. Qual dos conjuntos abaixo é base de
(complemento ortogonal de
)?
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
Passo 1
O enunciado dá o subespaço
gerado por três vetores:
Pede-se determinar qual dos conjuntos listados é uma base de
(o complemento ortogonal de
). Ou seja, precisamos achar todos os vetores
que são ortogonais a
e verificar qual opção fornece uma base desse espaço.
Passo 2
Vamos traduzir "ortogonal a
" em equações. Seja um vetor genérico
A condição
significa
Aqui o produto escalar em
é
. Vou aplicar isso para cada gerador.
Passo 3
Calcule as três equações de ortogonalidade:
Para
:
Logo
Para
:
Logo
Para
:
Vamos usar as duas primeiras equações na terceira.
Passo 4
Das duas primeiras temos
e
. Igualando,
Substituindo
e
na terceira equação verificamos:
que é satisfeita automaticamente. Portanto as condições são exatamente
com
livre. Assim o vetor genérico em
é
Isto mostra que
e um conjunto gerador (e de fato base) natural é
Passo 5
Critério prático para identificar a opção correta:
- A base de
deve ter exatamente 2 vetores (porque ). - Cada vetor da base deve satisfazer as equações
e . - Os dois vetores escolhidos devem ser linearmente independentes (não múltiplos um do outro).
Vou verificar as opções que têm dois vetores.
Passo 6
Opção (B): vetores
e
.
- Para
: tem e são satisfeitas, então pertence a . - Para
: tem e são satisfeitas, então pertence a . - Verificar independência: se fossem dependentes haveria
tal que . Comparando a primeira componente dá , comparando a segunda dá . Como , não existe tal ; logo são linearmente independentes. Como são dois vetores independentes em de dimensão , formam uma base.
As outras opções com dois vetores falham porque pelo menos um dos vetores não satisfaz
(por exemplo,
não satisfaz
já que
), ou o segundo vetor falha; portanto não podem ser bases de
.
Resposta
(B)