Q11: Considere o subespaço H \subset \mathbb{R}^{4} definido por:
H=\operatorname{span}\{(0,0,1,-3),(0,3,-1,0),(0,6,-4,6)\}. Qual dos conjuntos abaixo é base de H^{\perp} (complemento ortogonal de H )?
(A) \{(3,4,4,-4)\}
(B) \{(3,1,3,1),(-3,2,6,2)\}
(C) \{(-3,2,6,2)\}
(D) \{(2,2,2,-3),(3,4,4,-4)\}
(E) \{(3,1,3,1)\}
(F) \{(2,2,2,-3),(-3,2,6,2)\}
(G) \{(2,2,2,-3)\}
(H) \{(3,1,3,1),(3,4,4,-4)\}

Passo 1

O enunciado dá o subespaço H\subset\mathbb{R}^4 gerado por três vetores:
v_1=(0,0,1,-3),\qquad v_2=(0,3,-1,0),\qquad v_3=(0,6,-4,6).
Pede-se determinar qual dos conjuntos listados é uma base de H^{\perp} (o complemento ortogonal de H). Ou seja, precisamos achar todos os vetores x\in\mathbb{R}^4 que são ortogonais a v_1,v_2,v_3 e verificar qual opção fornece uma base desse espaço.

Passo 2

Vamos traduzir "ortogonal a v_1,v_2,v_3" em equações. Seja um vetor genérico
x=(a,b,c,d).
A condição x\in H^{\perp} significa
x\cdot v_1=0,\qquad x\cdot v_2=0,\qquad x\cdot v_3=0.
Aqui o produto escalar em \mathbb{R}^4 é (a,b,c,d)\cdot (u_1,u_2,u_3,u_4)=au_1+bu_2+cu_3+du_4. Vou aplicar isso para cada gerador.

Passo 3

Calcule as três equações de ortogonalidade:
Para v_1=(0,0,1,-3):
x\cdot v_1 = 0\cdot a + 0\cdot b + 1\cdot c + (-3)\cdot d = c-3d = 0.
Logo
c=3d.
Para v_2=(0,3,-1,0):
x\cdot v_2 = 0\cdot a + 3\cdot b + (-1)\cdot c + 0\cdot d = 3b-c = 0.
Logo
c=3b.
Para v_3=(0,6,-4,6):
x\cdot v_3 = 0\cdot a + 6\cdot b + (-4)\cdot c + 6\cdot d = 6b-4c+6d = 0.
Vamos usar as duas primeiras equações na terceira.

Passo 4

Das duas primeiras temos c=3d e c=3b. Igualando,
3d=3b \implies b=d.
Substituindo c=3b e d=b na terceira equação verificamos:
6b-4(3b)+6b = 6b-12b+6b = 0,
que é satisfeita automaticamente. Portanto as condições são exatamente
c=3b,\qquad d=b,
com a livre. Assim o vetor genérico em H^{\perp} é
x=(a,b,3b,b)=a(1,0,0,0)+b(0,1,3,1).
Isto mostra que \dim H^{\perp}=2 e um conjunto gerador (e de fato base) natural é
\{(1,0,0,0),(0,1,3,1)\}.

Passo 5

Critério prático para identificar a opção correta:
  • A base de H^{\perp} deve ter exatamente 2 vetores (porque \dim H^{\perp}=2).
  • Cada vetor da base deve satisfazer as equações c=3b e d=b.
  • Os dois vetores escolhidos devem ser linearmente independentes (não múltiplos um do outro).
Vou verificar as opções que têm dois vetores.

Passo 6

Opção (B): vetores (3,1,3,1) e (-3,2,6,2).
  • Para (3,1,3,1): tem b=1,c=3,d=1 e c=3b,\\ d=b são satisfeitas, então pertence a H^{\perp}.
  • Para (-3,2,6,2): tem b=2,c=6,d=2 e c=3b,\\ d=b são satisfeitas, então pertence a H^{\perp}.
  • Verificar independência: se fossem dependentes haveria k tal que (-3,2,6,2)=k(3,1,3,1). Comparando a primeira componente dá k=-1, comparando a segunda dá k=2. Como -1\neq 2, não existe tal k; logo são linearmente independentes. Como são dois vetores independentes em H^{\perp} de dimensão 2, formam uma base.
As outras opções com dois vetores falham porque pelo menos um dos vetores não satisfaz c=3b,\\ d=b (por exemplo, (2,2,2,-3) não satisfaz c=3b já que 2\neq 3\cdot 2), ou o segundo vetor falha; portanto não podem ser bases de H^{\perp}.

Resposta

(B)

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