Q14: Introduzimos em \mathcal{P}_{2}, espaço vetorial dos polinômios reais de grau menor ou igual a 2 , o produto interno:
\langle p, q\rangle=\int_{0}^{1} p(x) q(x) d x
Assinale a projeção ortogonal de p(x)=4 x^{2}+4 x-1 na reta gerada por q(x)=2-3 x.
Atividade adicional (opcional): após resolver este problema, será útil para interpretar o resultado fazer o seguinte. Use um software para plotar os gráficos de p(x) e k q(x), para alguns valores de k. O observe que a melhor aproximação de 4 x^{2}+4 x-1 no intervalo [0,1] por um múltiplo de 2-3 x é dada pela projeção ortogonal que você calculou (observe que a melhor aproximação depende do intervalo escolhido; por exemplo em [0,2] a melhor aproximação será outra).
(A) \frac{7 x}{2}-\frac{7}{3}
(B) 4 x-\frac{8}{3}
(C) -\frac{16 x^{2}}{3}-\frac{16 x}{3}+\frac{4}{3}
(D) \frac{5 x}{2}-\frac{5}{3}
(E) -4 x^{2}-4 x+1
(F) -\frac{14 x^{2}}{3}-\frac{14 x}{3}+\frac{7}{6}
(G) -\frac{10 x^{2}}{3}-\frac{10 x}{3}+\frac{5}{6}
(H) 3 x-2

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a projeção ortogonal de p(x)=4x^{2}+4x-1 sobre a reta gerada por q(x)=2-3x, no espaço vetorial \mathcal{P}_{2} com produto interno
\langle f,g\rangle=\int_{0}^{1} f(x)g(x)\,dx.
Informações dadas:
p(x)=4x^{2}+4x-1,\qquad q(x)=2-3x,\qquad \langle f,g\rangle=\int_{0}^{1}f(x)g(x)\,dx.
O que se pede: calcular a projeção ortogonal de p sobre \mathrm{span}\{q\}, isto é o polinômio da forma k\,q(x) que é a projeção ortogonal de p.

Passo 2

Fórmula que usamos (explicando didaticamente): a projeção ortogonal de p sobre a reta gerada por q é
\operatorname{proj}_{\mathrm{span}\{q\}}(p)=\frac{\langle p,q\rangle}{\langle q,q\rangle}\,q.
Aqui \langle p,q\rangle é o “produto interno” entre p e q (um número), e \langle q,q\rangle é o produto interno de q consigo mesmo (também um número). A fração \dfrac{\langle p,q\rangle}{\langle q,q\rangle} é o coeficiente escalar k tal que kq é a projeção. Esse resultado vem da condição de ortogonalidade: p-kq deve ser ortogonal a q, ou seja \langle p-kq,q\rangle=0, que leva à fórmula acima.

Passo 3

Calculamos \langle p,q\rangle=\int_{0}^{1} p(x)q(x)\,dx. Primeiro multiplicamos os polinômios:
p(x)q(x)=(4x^{2}+4x-1)(2-3x).
Expande passo a passo:
4x^{2}\cdot 2=8x^{2},\quad 4x^{2}\cdot(-3x)=-12x^{3},
4x\cdot 2=8x,\quad 4x\cdot(-3x)=-12x^{2},
-1\cdot 2=-2,\quad -1\cdot(-3x)=3x.
Somando os termos semelhantes:
p(x)q(x)=-12x^{3}+ (8x^{2}-12x^{2}) + (8x+3x) -2 = -12x^{3}-4x^{2}+11x-2.
Agora integramos de 0 a 1:
\langle p,q\rangle=\int_{0}^{1}(-12x^{3}-4x^{2}+11x-2)\,dx.
Calculemos integral termo a termo (lembrando que \int x^{n}dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}):
\int_{0}^{1}-12x^{3}\,dx=-12\cdot\frac{1}{4}=-3,
\int_{0}^{1}-4x^{2}\,dx=-4\cdot\frac{1}{3}=-\frac{4}{3},
\int_{0}^{1}11x\,dx=11\cdot\frac{1}{2}=\frac{11}{2},
\int_{0}^{1}-2\,dx=-2.
Somando:
\langle p,q\rangle=-3-\frac{4}{3}+\frac{11}{2}-2.
Colocando em denominador comum 6:
-3=-\frac{18}{6},\quad -\frac{4}{3}=-\frac{8}{6},\quad \frac{11}{2}=\frac{33}{6},\quad -2=-\frac{12}{6},
\langle p,q\rangle=\frac{-18-8+33-12}{6}=\frac{-5}{6}.

Passo 4

Calculamos \langle q,q\rangle=\int_{0}^{1} q(x)^{2}\,dx. Primeiro q(x)^{2}=(2-3x)^{2}=4-12x+9x^{2}. Integramos de 0 a 1:
\langle q,q\rangle=\int_{0}^{1}(4-12x+9x^{2})\,dx.
Integração termo a termo:
\int_{0}^{1}4\,dx=4,\quad \int_{0}^{1}-12x\,dx=-12\cdot\frac{1}{2}=-6,\quad \int_{0}^{1}9x^{2}\,dx=9\cdot\frac{1}{3}=3.
Somando:
\langle q,q\rangle=4-6+3=1.

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula da projeção:
k=\frac{\langle p,q\rangle}{\langle q,q\rangle}=\frac{-5/6}{1}=-\frac{5}{6}.
Portanto a projeção é
\operatorname{proj}_{\mathrm{span}\{q\}}(p)=k\,q(x)=-\frac{5}{6}(2-3x).
Multiplicando o escalar pelo polinômio:
-\frac{5}{6}\cdot 2=-\frac{10}{6}=-\frac{5}{3},\qquad -\frac{5}{6}\cdot(-3x)=\frac{15}{6}x=\frac{5}{2}x.
Logo a projeção é
\frac{5}{2}x-\frac{5}{3}.

Passo 6

Checagem rápida (intuitiva): a diferença p-\operatorname{proj}(p) deve ser ortogonal a q. De fato
\langle p-\operatorname{proj}(p),q\rangle=\langle p,q\rangle - k\langle q,q\rangle=-\frac{5}{6}-\left(-\frac{5}{6}\right)\cdot 1=0,
o que confirma a correção. Isso significa também que \frac{5}{2}x-\frac{5}{3} é o melhor múltiplo de q que aproxima p no sentido do menor erro quadrático no intervalo [0,1].

Resposta

\frac{5}{2}x-\frac{5}{3}

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