Q14: Introduzimos em
, espaço vetorial dos polinômios reais de grau menor ou igual a 2 , o produto interno:
Assinale a projeção ortogonal de
na reta gerada por
.
Atividade adicional (opcional): após resolver este problema, será útil para interpretar o resultado fazer o seguinte. Use um software para plotar os gráficos de
e
, para alguns valores de
. O observe que a melhor aproximação de
no intervalo
por um múltiplo de
é dada pela projeção ortogonal que você calculou (observe que a melhor aproximação depende do intervalo escolhido; por exemplo em
a melhor aproximação será outra).
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a projeção ortogonal de
sobre a reta gerada por
, no espaço vetorial
com produto interno
Informações dadas:
O que se pede: calcular a projeção ortogonal de
sobre
, isto é o polinômio da forma
que é a projeção ortogonal de
.
Passo 2
Fórmula que usamos (explicando didaticamente): a projeção ortogonal de
sobre a reta gerada por
é
Aqui
é o “produto interno” entre
e
(um número), e
é o produto interno de
consigo mesmo (também um número). A fração
é o coeficiente escalar
tal que
é a projeção. Esse resultado vem da condição de ortogonalidade:
deve ser ortogonal a
, ou seja
, que leva à fórmula acima.
Passo 3
Calculamos
. Primeiro multiplicamos os polinômios:
Expande passo a passo:
Somando os termos semelhantes:
Agora integramos de
a
:
Calculemos integral termo a termo (lembrando que
):
Somando:
Colocando em denominador comum
:
Passo 4
Calculamos
. Primeiro
. Integramos de
a
:
Integração termo a termo:
Somando:
Passo 5
Agora aplicamos a fórmula da projeção:
Portanto a projeção é
Multiplicando o escalar pelo polinômio:
Logo a projeção é
Passo 6
Checagem rápida (intuitiva): a diferença
deve ser ortogonal a
. De fato
o que confirma a correção. Isso significa também que
é o melhor múltiplo de
que aproxima
no sentido do menor erro quadrático no intervalo
.