6- Um veículo parte do repouso e acelera em linha reta a uma taxa de 2,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. Em seguida o veículo desacelera a uma taxa constante de 1 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} até parar. (a) quanto tempo transcorre da partida e a parada? (b) qual a distância percorrida pelo veículo?

Passo 1

O enunciado diz: um veículo parte do repouso, acelera em linha reta com aceleração constante de 2{,}0\\ \mathrm{m/s^{2}}. Em seguida ele passa a desacelerar (isto é, aceleração negativa) com taxa constante de 1{,}0\\ \mathrm{m/s^{2}} até parar. As perguntas são: (a) quanto tempo transcorre da partida até a parada? (b) qual a distância percorrida pelo veículo?
Informações relevantes fornecidas:
\begin{aligned} &\text{velocidade inicial: } v_{0}=0\\ (\text{partida do repouso}),\\\ &\text{aceleração durante a fase 1: } a=2{,}0\\ \mathrm{m/s^{2}},\\\ &\text{aceleração (desaceleração) durante a fase 2: } a_{\text{dec}}=-1{,}0\\ \mathrm{m/s^{2}}. \end{aligned}çãçãçã
Observação importante (interpretação necessária): o enunciado não dá a duração da fase de aceleração nem a velocidade máxima atingida antes da desaceleração. Então vamos chamar de v_{\max} a velocidade atingida no fim da fase de aceleração (isto é, no instante em que se inicia a desaceleração). Como o enunciado não fornece v_{\max}, a resposta será expressa em função de v_{\max}. Não peço nada a você — só deixei claro que a resposta será em termos dessa velocidade.

Passo 2

Vamos definir as quantidades que queremos achar e lembrar as fórmulas básicas do movimento uniformemente acelerado (MUA). Como a situação tem duas fases (aceleração positiva até atingir v_{\max} e depois desaceleração até v=0), vamos separar em fase 1 e fase 2.
Definições:
\begin{aligned} &t_{1}=\text{duração da fase 1 (aceleração)},\\\ &t_{2}=\text{duração da fase 2 (desaceleração)},\\\ &s_{1}=\text{distância percorrida na fase 1},\\\ &s_{2}=\text{distância percorrida na fase 2}. \end{aligned}çãçãçãçãââ
Fórmulas úteis do MUA (explicando o que cada símbolo significa):
\begin{aligned} &v = v_{0} + a t \quad\text{(velocidade após tempo }t\text{, com aceleração }a),\\\ &v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a s \quad\text{(relação entre velocidade e deslocamento)},\\\ &s = v_{0} t + \tfrac{1}{2} a t^{2} \quad\text{(deslocamento após tempo }t\text{).} \end{aligned}óçãçãó
Aqui v_{0} é a velocidade inicial da fase considerada, v é a velocidade final, a a aceleração, t o tempo e s o deslocamento. Essas fórmulas são o alfabeto do MUA — memorizando-as você resolve a maioria dos problemas de uma dimensão.

Passo 3

Calcular t_{1} (tempo da fase de aceleração). Na fase 1 o veículo parte de v_{0}=0 e atinge v_{\max} sob aceleração a=2{,}0\\ \mathrm{m/s^{2}}. Use a fórmula v = v_{0} + a t. Assim:
v_{\max} = 0 + a\, t_{1}
Logo:
t_{1} = \frac{v_{\max}}{a} = \frac{v_{\max}}{2{,}0\\ \mathrm{m/s^{2}}}.
Explanação didática: essa fórmula vem de isolar t em v=v_{0}+at. Se a aceleração é maior, o mesmo v_{\max} é atingido mais rápido (menor t_{1}).

Passo 4

Calcular t_{2} (tempo da desaceleração). Na fase 2 a velocidade inicial é v_{\max} e a velocidade final é 0; a desaceleração efetiva em módulo é 1{,}0\\ \mathrm{m/s^{2}}. Usando v = v_{0}+a t com v=0, v_{0}=v_{\max} e a=a_{\text{dec}}=-1{,}0\\ \mathrm{m/s^{2}},
0 = v_{\max} + (-1{,}0\\ \mathrm{m/s^{2}})\,t_{2}
Logo:
t_{2} = \frac{v_{\max}}{1{,}0\\ \mathrm{m/s^{2}}}.
Didática: com desaceleração menor (em módulo) do que a aceleração, leva mais tempo para parar do que levou para acelerar até a mesma velocidade.

Passo 5

Calcular o tempo total. O tempo total entre partida e parada é a soma das durações das duas fases:
t_{\text{total}} = t_{1}+t_{2} = \frac{v_{\max}}{2{,}0\\ \mathrm{m/s^{2}}} + \frac{v_{\max}}{1{,}0\\ \mathrm{m/s^{2}}}.
Podemos factorar v_{\max}:
t_{\text{total}} = v_{\max}\left(\frac{1}{2{,}0\\ \mathrm{m/s^{2}}} + \frac{1}{1{,}0\\ \mathrm{m/s^{2}}}\right).
Se quiser simplificar numericamente os coeficientes (tratando os denominadores como números já convertidos às unidades),
\frac{1}{2{,}0}=0{,}5\\ (\mathrm{s^{2}/m}),\qquad \frac{1}{1{,}0}=1{,}0\\ (\mathrm{s^{2}/m}),
então
t_{\text{total}} = 1{,}5\\ \frac{\mathrm{s^{2}}}{\mathrm{m}}\,v_{\max}.
Observação prática: quando você inserir v_{\max} em \mathrm{m/s}, o resultado dá t_{\text{total}} em segundos.

Passo 6

Calcular s_{1} (distância percorrida na aceleração). É mais prático usar a relação v^{2}=v_{0}^{2}+2 a s para evitar trabalhar com tempos. Na fase 1, v_{0}=0, v=v_{\max}, a=2{,}0\\ \mathrm{m/s^{2}}, então
v_{\max}^{2} = 0 + 2\cdot (2{,}0\\ \mathrm{m/s^{2}})\, s_{1}.
Isolando s_{1}:
s_{1} = \frac{v_{\max}^{2}}{2\cdot 2{,}0\\ \mathrm{m/s^{2}}} = \frac{v_{\max}^{2}}{4{,}0\\ \mathrm{m/s^{2}}}.
Didática: essa fórmula é útil porque relaciona velocidade e deslocamento diretamente, sem precisar do tempo.

Passo 7

Calcular s_{2} (distância da desaceleração). Na fase 2 usamos novamente v^{2}=v_{0}^{2}+2 a s, agora com v=0, v_{0}=v_{\max}, e a=a_{\text{dec}}=-1{,}0\\ \mathrm{m/s^{2}}. Assim:
0 = v_{\max}^{2} + 2\cdot(-1{,}0\\ \mathrm{m/s^{2}})\, s_{2}.
Isolando s_{2}:
s_{2} = \frac{v_{\max}^{2}}{2\cdot 1{,}0\\ \mathrm{m/s^{2}}} = \frac{v_{\max}^{2}}{2{,}0\\ \mathrm{m/s^{2}}}.

Passo 8

Calcular a distância total s_{\text{total}}=s_{1}+s_{2}. Somando as expressões de s_{1} e s_{2}:
s_{\text{total}} = \frac{v_{\max}^{2}}{4{,}0\\ \mathrm{m/s^{2}}} + \frac{v_{\max}^{2}}{2{,}0\\ \mathrm{m/s^{2}}}.
Fatorando v_{\max}^{2} e somando os coeficientes (tratando denominadores numericamente):
\frac{1}{4{,}0} + \frac{1}{2{,}0} = 0{,}25 + 0{,}5 = 0{,}75,
portanto
s_{\text{total}} = 0{,}75\\ \frac{\mathrm{s^{2}}}{\mathrm{m}}\, v_{\max}^{2}.
Em forma mais “limpa” e habitual:
s_{\text{total}} = \frac{3}{4}\,v_{\max}^{2},
onde se toma v_{\max} em \mathrm{m/s} e o resultado sai em metros (as unidades ficam consistentes porque, ao ter substituído os valores numéricos das acelerações, o fator já incorpora as unidades).

Passo 9

Interpretação final e dica de prova: as respostas ficam em função de v_{\max} porque o enunciado não diz até qual velocidade o veículo acelerou antes de começar a frear. Se em uma prova o enunciado for exatamente este, provavelmente era esperado que você apresentasse as respostas em função de v_{\max} (ou que estivesse faltando um dado). Observe as fórmulas finais simples que você pode decorar para situações parecidas:
t_{\text{total}} = \frac{v_{\max}}{a} + \frac{v_{\max}}{|a_{\text{dec}}|}, \qquad s_{\text{total}} = \frac{v_{\max}^{2}}{2a} + \frac{v_{\max}^{2}}{2|a_{\text{dec}}|}.
No nosso caso, substituindo a=2{,}0 e |a_{\text{dec}}|=1{,}0 deu os resultados acima.

Resposta

t_{\text{total}} = \dfrac{v_{\max}}{2{,}0\\ \mathrm{m/s^{2}}} + \dfrac{v_{\max}}{1{,}0\\ \mathrm{m/s^{2}}} = 1{,}5\\ \dfrac{\mathrm{s^{2}}}{\mathrm{m}}\,v_{\max}.
s_{\text{total}} = \dfrac{v_{\max}^{2}}{2\cdot 2{,}0\\ \mathrm{m/s^{2}}} + \dfrac{v_{\max}^{2}}{2\cdot 1{,}0\\ \mathrm{m/s^{2}}} = 0{,}75\\ \dfrac{\mathrm{s^{2}}}{\mathrm{m}}\,v_{\max}^{2} = \dfrac{3}{4}\,v_{\max}^{2}.

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