Sabendo que R é o raio da órbita de um planeta, E é a energia do sistema, e G é a constante de gravitação universal, [\mathrm{G}]=\mathrm{M}^{-1} \mathrm{~L}^{3} \mathrm{~T}^{-2}, determine as dimensões de \mathrm{A}, \mathrm{B}, c.
R=\frac{A^{3}}{C-\cos \theta \cdot\left[1+\frac{2 \cdot B^{2} \sqrt{E}}{G \cdot m_{1} \cdot m_{2}}\right]}

Passo 1

O enunciado dá a expressão
R=\frac{A^{3}}{C-\cos\theta\cdot\left[1+\frac{2\cdot B^{2}\sqrt{E}}{G\cdot m_{1}\cdot m_{2}}\right]}
e informa que R é o raio da órbita (portanto tem dimensão de comprimento), E é a energia do sistema e [\mathrm{G}]=\mathrm{M}^{-1}\mathrm{L}^{3}\mathrm{T}^{-2}. As massas m_{1} e m_{2} têm dimensão \mathrm{M}. A tarefa é determinar as dimensões de A, B e C.
Observação: o enunciado pediu “c” em minúscula, mas a fórmula usa C maiúsculo; vou assumir que é a mesma grandeza C.

Passo 2

Princípio que vamos usar (aulas rápidas): toda expressão física deve ser adimensionalmente homogênea. Em particular, só podemos somar ou subtrair quantidades que tenham as mesmas dimensões. Aqui há somas/subtrações dentro do denominador, então cada parcela desse denominador deve ter a mesma dimensão. Além disso, funções trigonométricas como \cos\theta são adimensionais (sem unidade). Portanto o conteúdo entre colchetes
1+\frac{2\cdot B^{2}\sqrt{E}}{G\cdot m_{1}\cdot m_{2}}
tem que ser adimensional — em particular o termo
\frac{2\cdot B^{2}\sqrt{E}}{G\cdot m_{1}\cdot m_{2}}
tem que ser adimensional.

Passo 3

Vamos escrever as dimensões das quantidades conhecidas. Energia E tem dimensão
[E]=\mathrm{M}\,\mathrm{L}^{2}\mathrm{T}^{-2}.
Logo a raiz quadrada tem dimensão
[\sqrt{E}]=[E]^{1/2}=\mathrm{M}^{1/2}\mathrm{L}^{1}\mathrm{T}^{-1}.
Expliquei: para obter a dimensão de uma potência, elevamos cada expoente ao mesmo fator (a raiz quadrada divide os expoentes por 2).

Passo 4

Dimensão do produto G\cdot m_{1}\cdot m_{2}:
[G]=\mathrm{M}^{-1}\mathrm{L}^{3}\mathrm{T}^{-2},\qquad [m_{1}m_{2}]=\mathrm{M}^{2}.
Multiplicando:
[G\cdot m_{1}\cdot m_{2}]=\mathrm{M}^{-1}\mathrm{L}^{3}\mathrm{T}^{-2}\cdot \mathrm{M}^{2}=\mathrm{M}^{1}\mathrm{L}^{3}\mathrm{T}^{-2}.

Passo 5

Agora imponho que a fração seja adimensional:
\frac{B^{2}\,[\sqrt{E}]}{[G\cdot m_{1}\cdot m_{2}]}\\ \text{é adimensional}.é
Substituindo as dimensões:
\frac{[B]^{2}\cdot \mathrm{M}^{1/2}\mathrm{L}^{1}\mathrm{T}^{-1}}{\mathrm{M}^{1}\mathrm{L}^{3}\mathrm{T}^{-2}}=\mathrm{M}^{0}\mathrm{L}^{0}\mathrm{T}^{0}.
Calculando os expoentes ao dividir:
[B]^{2}\cdot \mathrm{M}^{1/2-1}\mathrm{L}^{1-3}\mathrm{T}^{-1-(-2)}=[B]^{2}\cdot \mathrm{M}^{-1/2}\mathrm{L}^{-2}\mathrm{T}^{1}=\text{adimensional}.
Daí isolamos [B]^{2}:
[B]^{2}=\mathrm{M}^{1/2}\mathrm{L}^{2}\mathrm{T}^{-1}.

Passo 6

Tirando raiz quadrada para obter [B]:
[B]=\left(\mathrm{M}^{1/2}\mathrm{L}^{2}\mathrm{T}^{-1}\right)^{1/2}=\mathrm{M}^{1/4}\mathrm{L}^{1}\mathrm{T}^{-1/2}.
Expliquei: ao tirar raiz, dividimos todos os expoentes por 2.

Passo 7

Agora raciocinamos sobre C e o denominador inteiro. Já sabemos que \cos\theta e o termo entre colchetes são adimensionais, então a parcela \cos\theta\cdot[\cdots] é adimensional. Como C é subtraído dessa parcela, C também deve ser adimensional (para que a subtração faça sentido). Portanto
[C]=\mathrm{M}^{0}\mathrm{L}^{0}\mathrm{T}^{0}\quad(\text{adimensional}).

Passo 8

Finalmente usamos a homogeneidade da igualdade completa. O lado esquerdo R tem dimensão de comprimento:
[R]=\mathrm{L}.
Como o denominador é adimensional (já mostramos que C e o outro termo são adimensionais), temos
[R]=\frac{[A]^{3}}{\text{adimensional}}\quad\Rightarrow\quad [A]^{3}=[R]=\mathrm{L}.
Logo
[A]=\mathrm{L}^{1/3}.

Resposta

[A]=\mathrm{L}^{1/3}
[B]=\mathrm{M}^{1/4}\mathrm{L}\mathrm{T}^{-1/2}
[C]=\mathrm{M}^{0}\mathrm{L}^{0}\mathrm{T}^{0}

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