Sabendo que
é o raio da órbita de um planeta,
é a energia do sistema, e
é a constante de gravitação universal,
, determine as dimensões de
, c.
Passo 1
O enunciado dá a expressão
e informa que
é o raio da órbita (portanto tem dimensão de comprimento),
é a energia do sistema e
. As massas
e
têm dimensão
. A tarefa é determinar as dimensões de
,
e
.
Observação: o enunciado pediu “c” em minúscula, mas a fórmula usa maiúsculo; vou assumir que é a mesma grandeza
.
Observação: o enunciado pediu “c” em minúscula, mas a fórmula usa
Passo 2
Princípio que vamos usar (aulas rápidas): toda expressão física deve ser adimensionalmente homogênea. Em particular, só podemos somar ou subtrair quantidades que tenham as mesmas dimensões. Aqui há somas/subtrações dentro do denominador, então cada parcela desse denominador deve ter a mesma dimensão. Além disso, funções trigonométricas como
são adimensionais (sem unidade). Portanto o conteúdo entre colchetes
tem que ser adimensional — em particular o termo
tem que ser adimensional.
Passo 3
Vamos escrever as dimensões das quantidades conhecidas. Energia
tem dimensão
Logo a raiz quadrada tem dimensão
Expliquei: para obter a dimensão de uma potência, elevamos cada expoente ao mesmo fator (a raiz quadrada divide os expoentes por 2).
Passo 4
Dimensão do produto
:
Multiplicando:
Passo 5
Agora imponho que a fração seja adimensional:
Substituindo as dimensões:
Calculando os expoentes ao dividir:
Daí isolamos
:
Passo 6
Tirando raiz quadrada para obter
:
Expliquei: ao tirar raiz, dividimos todos os expoentes por
.
Passo 7
Agora raciocinamos sobre
e o denominador inteiro. Já sabemos que
e o termo entre colchetes são adimensionais, então a parcela
é adimensional. Como
é subtraído dessa parcela,
também deve ser adimensional (para que a subtração faça sentido). Portanto
Passo 8
Finalmente usamos a homogeneidade da igualdade completa. O lado esquerdo
tem dimensão de comprimento:
Como o denominador é adimensional (já mostramos que
e o outro termo são adimensionais), temos
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