14 (IME-RJ) Suponha que o módulo da velocidade de propagação
de uma onda sonora dependa somente da pressão
e da massa específica do meio
, de acordo com a expressão:
Use a análise dimensional para determinar a expressão do módulo da velocidade do som, sabendo-se que a constante adimensional vale 1.
Passo 1
O enunciado diz que o módulo da velocidade de propagação de uma onda sonora
depende somente da pressão
e da massa específica do meio
segundo a lei
onde
e
são expoentes desconhecidos. Pede-se determinar, por análise dimensional, a expressão de
(a constante adimensional é 1). As informações relevantes são:
- a relação funcional dada acima;
- a pressão
e a massa específica são as únicas grandezas envolvidas além de ; - a constante multiplicativa é adimensional e igual a 1.
Passo 2
Vamos anotar as dimensões fundamentais (em termos de massa, comprimento e tempo) das grandezas envolvidas. Aqui usamos os símbolos
para massa,
para comprimento e
para tempo.
- A dimensão da velocidade
é comprimento por tempo:
- A pressão
é força por área. Força tem dimensão massa vezes aceleração, isto é . Dividindo por área obtemos:
Expliquei: força
dá
; área é
; então pressão é
.
- A massa específica
é massa por volume, logo:
Passo 3
Agora escrevemos a igualdade dimensional da relação proposta. A dimensão do lado esquerdo deve igualar a do lado direito:
Substituindo as expressões acima:
Calculamos as potências multiplicando expoentes:
Passo 4
Igualamos os expoentes de
,
e
dos dois lados para obter um sistema linear para
e
.
- Expoente de
:
- Expoente de
:
- Expoente de
:
Essas três equações vêm do fato de que no lado esquerdo não aparece
(expoente 0),
tem expoente 1 e
tem expoente
.
Passo 5
Resolvendo as equações na ordem mais simples:
Da equação temporal
temos
Usando
obtemos
Confirmamos que a equação de comprimento fica consistente:
que coincide com o expoente de
do lado esquerdo. Portanto os valores são consistentes.
Passo 6
Substituímos os expoentes encontrados na lei proposta. Como a constante adimensional vale 1, temos
Interpretação física curta: isso mostra que a velocidade do som escala como a raiz quadrada da “rigidez” (aqui representada por uma pressão ou módulo volumétrico) dividida pela densidade do meio, que é a forma conhecida da fórmula física
.