14 (IME-RJ) Suponha que o módulo da velocidade de propagação \mathbf{V} de uma onda sonora dependa somente da pressão \mathbf{p} e da massa específica do meio \mu, de acordo com a expressão:
V=p^{x} \mu^{y}
Use a análise dimensional para determinar a expressão do módulo da velocidade do som, sabendo-se que a constante adimensional vale 1.

Passo 1

O enunciado diz que o módulo da velocidade de propagação de uma onda sonora V depende somente da pressão p e da massa específica do meio \mu segundo a lei
V = p^{x}\,\mu^{y},
onde x e y são expoentes desconhecidos. Pede-se determinar, por análise dimensional, a expressão de V (a constante adimensional é 1). As informações relevantes são:
  • a relação funcional dada acima;
  • a pressão p e a massa específica \mu são as únicas grandezas envolvidas além de V;
  • a constante multiplicativa é adimensional e igual a 1.

Passo 2

Vamos anotar as dimensões fundamentais (em termos de massa, comprimento e tempo) das grandezas envolvidas. Aqui usamos os símbolos \mathrm{M} para massa, \mathrm{L} para comprimento e \mathrm{T} para tempo.
  • A dimensão da velocidade V é comprimento por tempo:
[V] = \mathrm{L}\,\mathrm{T}^{-1}.
  • A pressão p é força por área. Força tem dimensão massa vezes aceleração, isto é \mathrm{M}\,\mathrm{L}\,\mathrm{T}^{-2}. Dividindo por área \mathrm{L}^2 obtemos:
[p] = \mathrm{M}\,\mathrm{L}^{-1}\,\mathrm{T}^{-2}.
Expliquei: força = m a \mathrm{M}\,\mathrm{L}\,\mathrm{T}^{-2}; área é \mathrm{L}^2; então pressão é \mathrm{M}\,\mathrm{L}\,\mathrm{T}^{-2}/\mathrm{L}^2=\mathrm{M}\,\mathrm{L}^{-1}\,\mathrm{T}^{-2}.
  • A massa específica \mu é massa por volume, logo:
[\mu] = \mathrm{M}\,\mathrm{L}^{-3}.

Passo 3

Agora escrevemos a igualdade dimensional da relação proposta. A dimensão do lado esquerdo deve igualar a do lado direito:
[V] = [p]^x\,[\mu]^y.
Substituindo as expressões acima:
\mathrm{L}\,\mathrm{T}^{-1} = \big(\mathrm{M}\,\mathrm{L}^{-1}\,\mathrm{T}^{-2}\big)^{x}\,\big(\mathrm{M}\,\mathrm{L}^{-3}\big)^{y}.
Calculamos as potências multiplicando expoentes:
\mathrm{L}\,\mathrm{T}^{-1} = \mathrm{M}^{\,x+y}\,\mathrm{L}^{\,-x-3y}\,\mathrm{T}^{\,-2x}.

Passo 4

Igualamos os expoentes de \mathrm{M}, \mathrm{L} e \mathrm{T} dos dois lados para obter um sistema linear para x e y.
  • Expoente de \mathrm{M}:
0 = x + y.
  • Expoente de \mathrm{L}:
1 = -x - 3y.
  • Expoente de \mathrm{T}:
-1 = -2x.
Essas três equações vêm do fato de que no lado esquerdo não aparece \mathrm{M} (expoente 0), \mathrm{L} tem expoente 1 e \mathrm{T} tem expoente -1.

Passo 5

Resolvendo as equações na ordem mais simples:
Da equação temporal -1 = -2x temos
x = \tfrac{1}{2}.
Usando x+\!y=0 obtemos
y = -x = -\tfrac{1}{2}.
Confirmamos que a equação de comprimento fica consistente:
- x - 3y = -\tfrac{1}{2} -3\big(-\tfrac{1}{2}\big) = -\tfrac{1}{2} + \tfrac{3}{2} = 1,
que coincide com o expoente de \mathrm{L} do lado esquerdo. Portanto os valores são consistentes.

Passo 6

Substituímos os expoentes encontrados na lei proposta. Como a constante adimensional vale 1, temos
V = p^{\,1/2}\,\mu^{-1/2} = \sqrt{\frac{p}{\mu}}.
Interpretação física curta: isso mostra que a velocidade do som escala como a raiz quadrada da “rigidez” (aqui representada por uma pressão ou módulo volumétrico) dividida pela densidade do meio, que é a forma conhecida da fórmula física v=\sqrt{K/\rho}.

Resposta

V=\sqrt{\frac{p}{\mu}}

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