Veifique que 
  é um campo conservativo em 
 . Em caso afirmativo, calcular
 
onde a notação 
  significa a integral de linha ao longo de qualquer caminho de 
  a 
 .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se o campo vetorial 
  é conservativo em 
 . Se for, precisamos calcular a integral de linha de 
  até 
 . Vamos usar conceitos de cálculo vetorial para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um campo conservativo. Um campo vetorial 
  é conservativo se existe uma função potencial 
  tal que 
 . Isso significa que:
Uma condição prática para verificar se 
  é conservativo é checar se as derivadas cruzadas são iguais, ou seja, se:
Vamos aplicar isso ao nosso campo 
 .
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Como 
 , o campo 
  é conservativo.
Passo 4
Agora que sabemos que 
  é conservativo, vamos encontrar a função potencial 
  tal que 
 .
Começamos integrando 
  em relação a 
 :
Aqui, 
  é uma função de 
  que aparece como constante de integração.
Passo 5
Para determinar 
 , derivamos 
  em relação a 
  e igualamos a 
 :
Isso implica que 
 , então 
  é uma constante. Podemos considerar 
  sem perda de generalidade.
Portanto, a função potencial é:
Passo 6
Finalmente, para calcular a integral de linha de 
  até 
 , usamos a função potencial:
Calculando os valores:
Então,
Resposta
A integral de linha é igual a 
 .