Encontre a solução contínua do problema de valor inicial
 
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial de primeira ordem do tipo 
 , com a condição inicial 
 . A função 
  é uma função definida por partes:
O que vamos precisar aqui é usar o método do fator integrante para resolver essa equação diferencial. Vamos dividir a resolução em dois intervalos: de 
  a 
 , onde 
 , e para 
 , onde 
 . Além disso, vamos garantir que a solução seja contínua no ponto 
 .
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação para o intervalo 
 , onde 
 . A equação fica:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, precisamos encontrar um fator integrante. A fórmula do fator integrante é:
Onde 
  é o coeficiente de 
  na equação, que aqui é 
 . Então:
Passo 3
Agora, multiplicamos toda a equação pelo fator integrante 
 :
A esquerda da equação agora é a derivada do produto 
 , ou seja:
Para encontrar 
 , vamos integrar ambos os lados em relação a 
 :
Assim, temos:
Onde 
  é a constante de integração.
Passo 4
Agora, resolvemos para 
  dividindo ambos os lados por 
 :
Aplicamos a condição inicial 
  para encontrar 
 :
Portanto, a solução no intervalo 
  é:
Passo 5
Agora, vamos resolver para 
 , onde 
 . A equação fica:
Essa é uma equação homogênea linear. A solução geral é:
Onde 
  é uma constante que vamos determinar garantindo a continuidade da solução em 
 .
Passo 6
Para garantir que a solução seja contínua em 
 , o valor de 
  em 
  para o primeiro intervalo deve ser igual ao valor de 
  no segundo intervalo em 
 .
Primeiro, calculamos 
  usando a solução para 
 :
Agora, igualamos isso à solução para 
  em 
 :
Resolvendo para 
 :
Resposta
A solução contínua do problema de valor inicial é: