Questão 8.
\begin{cases}u_{r r}+\frac{1}{r} u_{r}+\frac{1}{r^{2}} u_{\theta \theta}=0 & 0<r<4 \quad \text { e } \quad 0<\theta<2 \pi \\\ u\left(r_{0}, \theta\right)=\theta^{2} & 0 \leq \theta \leq 2 \pi\end{cases}

Passo 1

O enunciado fornece a equação de Laplace em coordenadas polares e uma condição de contorno radial:
\begin{cases} u_{rr}+\dfrac{1}{r}u_r+\dfrac{1}{r^2}u_{\theta\theta}=0, & 0<r<4,\; 0<\theta<2\pi,\\[6pt] u\bigl(r_{0},\theta\bigr)=\theta^{2}, & 0\le\theta\le2\pi. \end{cases}
Informações claras e pedidos:
  • O domínio é o disco de raio 4 (portanto r_0=4); a condição de contorno é dada na circunferência r=4.
  • A função de contorno é f(\theta)=\theta^{2} no intervalo [0,2\pi].
  • O objetivo é encontrar a solução harmônica u(r,\theta) para 0\le r<4 que satisfaz essa condição em r=4.]

Passo 2

Qual método vamos usar (explicação didática e por que funciona).
Para resolver a equação de Laplace no disco com uma condição angular, o caminho padrão é:
  • Expandir a condição de contorno f(\theta)=\theta^2 em série de Fourier em \theta (série com cossenos e senos de frequência inteira, período 2\pi).
  • Usar separação de variáveis para obter a forma geral das soluções harmônicas regulares no centro: termos constantes e termos do tipo r^{n}\cos(n\theta), r^{n}\sin(n\theta) (os r^{-n} são excluídos para manter solução limitada em r=0).
  • Ajustar coeficientes radiais para que, em r=r_0=4, a série radial reproduza a série de Fourier de f(\theta).
Breve revisão (passo-a-passo do porquê): supondo solução do tipo u(r,\theta)=R(r)\Theta(\theta) e separando, obtém-se que os modos angulares satisfazem \Theta''+n^{2}\Theta=0 com n inteiro, e os modos radiais satisfazem r^{2}R''+rR'-n^{2}R=0 cuja solução regular é R(r)\propto r^{n}. Assim a solução geral regular no interior é
u(r,\theta)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty \bigl(A_n r^{n}\cos(n\theta)+B_n r^{n}\sin(n\theta)\bigr).
Para ajustar a condição em r=4 escrevemos a condição como série de Fourier e identificamos A_n\cdot 4^{n} e B_n\cdot 4^{n} com os coeficientes da série.

Passo 3

Preparação para expandir f(\theta)=\theta^{2} em série de Fourier no intervalo [0,2\pi].
A série de Fourier de uma função f com período 2\pi tem a forma
f(\theta)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty\bigl(a_n\cos(n\theta)+b_n\sin(n\theta)\bigr),
com
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi} f(\theta)\cos(n\theta)\,d\theta,\qquad b_n=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi} f(\theta)\sin(n\theta)\,d\theta,
e
\frac{a_0}{2}=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} f(\theta)\,d\theta.
Aviso didático importante: f(\theta)=\theta^{2} definida em [0,2\pi] não é contínua periódica em \theta=0,2\pi (há salto entre 0 e (2\pi)^2), mas a série de Fourier da extensão periódica converge para a média dos limites laterais nos pontos de descontinuidade. Para 0<\theta<2\pi o processo de Fourier é perfeitamente válido.

Passo 4

Cálculo do termo constante a_0/2.
Calcular a média:
\frac{a_0}{2}=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\theta^{2}\,d\theta =\frac{1}{2\pi}\left[\frac{\theta^{3}}{3}\right]_{0}^{2\pi} =\frac{1}{2\pi}\cdot\frac{8\pi^{3}}{3} =\frac{4\pi^{2}}{3}.

Passo 5

Cálculo dos coeficientes a_n (coeficientes dos cossenos).
Queremos
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}\theta^{2}\cos(n\theta)\,d\theta,\qquad n\ge1.
Fazemos integração por partes duas vezes. Primeira integração por partes:
  • Tome u=\theta^{2}, dv=\cos(n\theta)d\theta. Então du=2\theta\,d\theta, v=\dfrac{\sin(n\theta)}{n}.
    Assim
\int_{0}^{2\pi}\theta^{2}\cos(n\theta)\,d\theta =\left[\theta^{2}\frac{\sin(n\theta)}{n}\right]_{0}^{2\pi}-\frac{2}{n}\int_{0}^{2\pi}\theta\sin(n\theta)\,d\theta.
O termo de fronteira é zero porque \sin(2\pi n)=0. Agora integrar por partes o integral restante:
  • Tome u=\theta, dv=\sin(n\theta)d\theta. Então du=d\theta, v=-\dfrac{\cos(n\theta)}{n}.
    Assim
\int_{0}^{2\pi}\theta\sin(n\theta)\,d\theta =\left[-\theta\frac{\cos(n\theta)}{n}\right]_{0}^{2\pi}+\frac{1}{n}\int_{0}^{2\pi}\cos(n\theta)\,d\theta.
O segundo termo é zero ( \int_{0}^{2\pi}\cos(n\theta)\,d\theta=0). O primeiro termo vale
-\frac{2\pi\cos(2\pi n)}{n}+\frac{0\cdot\cos 0}{n}=-\frac{2\pi}{n}.
Portanto
\int_{0}^{2\pi}\theta\sin(n\theta)\,d\theta=-\frac{2\pi}{n}.
Voltando,
\int_{0}^{2\pi}\theta^{2}\cos(n\theta)\,d\theta =-\frac{2}{n}\left(-\frac{2\pi}{n}\right)=\frac{4\pi}{n^{2}}.
Logo
a_n=\frac{1}{\pi}\cdot\frac{4\pi}{n^{2}}=\frac{4}{n^{2}},\qquad n\ge1.

Passo 6

Cálculo dos coeficientes b_n (coeficientes dos senos).
Queremos
b_n=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}\theta^{2}\sin(n\theta)\,d\theta.
Fazemos integração por partes (como acima, mas começando com \sin):
  • Tome u=\theta^{2}, dv=\sin(n\theta)d\theta. Então du=2\theta\,d\theta, v=-\dfrac{\cos(n\theta)}{n}.
\int_{0}^{2\pi}\theta^{2}\sin(n\theta)\,d\theta =\left[-\theta^{2}\frac{\cos(n\theta)}{n}\right]_{0}^{2\pi}+\frac{2}{n}\int_{0}^{2\pi}\theta\cos(n\theta)\,d\theta.
O termo de fronteira vale -\dfrac{(2\pi)^{2}\cos(2\pi n)}{n}=-\dfrac{4\pi^{2}}{n}. Agora calcule o integral restante:
  • Faça integração por partes em \int_{0}^{2\pi}\theta\cos(n\theta)\,d\theta com u=\theta, dv=\cos(n\theta)d\theta. Então du=d\theta, v=\dfrac{\sin(n\theta)}{n}. Assim
\int_{0}^{2\pi}\theta\cos(n\theta)\,d\theta =\left[\theta\frac{\sin(n\theta)}{n}\right]_{0}^{2\pi}-\frac{1}{n}\int_{0}^{2\pi}\sin(n\theta)\,d\theta=0,
pois os termos de fronteira e o integral de \sin são zero. Portanto
\int_{0}^{2\pi}\theta^{2}\sin(n\theta)\,d\theta=-\frac{4\pi^{2}}{n}.
Assim
b_n=\frac{1}{\pi}\left(-\frac{4\pi^{2}}{n}\right)=-\frac{4\pi}{n},\qquad n\ge1.

Passo 7

Escrever a série de Fourier completa de f(\theta)=\theta^{2} (resultado dos Passos 4–6).
Substituindo os coeficientes encontrados:
\theta^{2}=\frac{4\pi^{2}}{3}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{4}{n^{2}}\cos(n\theta)-\frac{4\pi}{n}\sin(n\theta)\right), \qquad 0<\theta<2\pi,
(na fronteira \theta=0 ou \theta=2\pi a série converge para a média dos limites laterais, conforme comentado anteriormente).

Passo 8

Determinar a solução harmônica u(r,\theta) no interior 0\le r<4 usando os coeficientes da série de Fourier na borda r=4.
Forma geral regular (explicada no Passo 2):
u(r,\theta)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(A_n r^{n}\cos(n\theta)+B_n r^{n}\sin(n\theta)\bigr).
Na borda r=4 devemos ter
u(4,\theta)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(A_n 4^{n}\cos(n\theta)+B_n 4^{n}\sin(n\theta)\bigr)=\theta^{2}.
Comparando termo a termo com a série de Fourier de \theta^{2} (Passo 7) obtemos:
\frac{a_0}{2}=\frac{4\pi^{2}}{3},\qquad A_n 4^{n}=\frac{4}{n^{2}},\qquad B_n 4^{n}=-\frac{4\pi}{n}.
Portanto
A_n=\frac{4}{n^{2}4^{n}}=\frac{4}{n^{2}4^{n}},\qquad B_n=-\frac{4\pi}{n4^{n}}.

Passo 9

Escrever a solução final e simplificar o fator radial (r/4)^{n}.
Substituindo A_n e B_n em u(r,\theta) obtemos
u(r,\theta)=\frac{4\pi^{2}}{3}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{4}{n^{2}4^{n}}\,r^{n}\cos(n\theta)-\frac{4\pi}{n4^{n}}\,r^{n}\sin(n\theta)\right).
Fatorando 4^{n} em denominador como (4^{n})=(4^{n}) e reconhecendo \bigl(\tfrac{r}{4}\bigr)^{n}=\dfrac{r^{n}}{4^{n}}, fica mais compacto:
u(r,\theta)=\frac{4\pi^{2}}{3}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{4}{n^{2}}\Bigl(\frac{r}{4}\Bigr)^{n}\cos(n\theta)-\frac{4\pi}{n}\Bigl(\frac{r}{4}\Bigr)^{n}\sin(n\theta)\right).

Resposta

u(r,\theta)=\frac{4\pi^{2}}{3}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{4}{n^{2}}\Bigl(\frac{r}{4}\Bigr)^{n}\cos(n\theta)-\frac{4\pi}{n}\Bigl(\frac{r}{4}\Bigr)^{n}\sin(n\theta)\right),\qquad 0\le r<4,\;0<\theta<2\pi.

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