O domínio é o disco de raio 4 (portanto r_0=4); a condição de contorno é dada na circunferência r=4.
A função de contorno é f(\theta)=\theta^{2} no intervalo [0,2\pi].
O objetivo é encontrar a solução harmônica u(r,\theta) para 0\le r<4 que satisfaz essa condição em r=4.]
Passo 2
Qual método vamos usar (explicação didática e por que funciona).
Para resolver a equação de Laplace no disco com uma condição angular, o caminho padrão é:
Expandir a condição de contorno f(\theta)=\theta^2 em série de Fourier em \theta (série com cossenos e senos de frequência inteira, período 2\pi).
Usar separação de variáveis para obter a forma geral das soluções harmônicas regulares no centro: termos constantes e termos do tipo r^{n}\cos(n\theta), r^{n}\sin(n\theta) (os r^{-n} são excluídos para manter solução limitada em r=0).
Ajustar coeficientes radiais para que, em r=r_0=4, a série radial reproduza a série de Fourier de f(\theta).
Breve revisão (passo-a-passo do porquê): supondo solução do tipo u(r,\theta)=R(r)\Theta(\theta) e separando, obtém-se que os modos angulares satisfazem \Theta''+n^{2}\Theta=0 com n inteiro, e os modos radiais satisfazem r^{2}R''+rR'-n^{2}R=0 cuja solução regular é R(r)\propto r^{n}. Assim a solução geral regular no interior é
Para ajustar a condição em r=4 escrevemos a condição como série de Fourier e identificamos A_n\cdot 4^{n} e B_n\cdot 4^{n} com os coeficientes da série.
Passo 3
Preparação para expandir f(\theta)=\theta^{2} em série de Fourier no intervalo [0,2\pi].
A série de Fourier de uma função f com período 2\pi tem a forma
Aviso didático importante: f(\theta)=\theta^{2} definida em [0,2\pi] não é contínua periódica em \theta=0,2\pi (há salto entre 0 e (2\pi)^2), mas a série de Fourier da extensão periódica converge para a média dos limites laterais nos pontos de descontinuidade. Para 0<\theta<2\pi o processo de Fourier é perfeitamente válido.
Passo 4
Cálculo do termo constante a_0/2.
Calcular a média:
O termo de fronteira vale -\dfrac{(2\pi)^{2}\cos(2\pi n)}{n}=-\dfrac{4\pi^{2}}{n}. Agora calcule o integral restante:
Faça integração por partes em \int_{0}^{2\pi}\theta\cos(n\theta)\,d\theta com u=\theta, dv=\cos(n\theta)d\theta. Então du=d\theta, v=\dfrac{\sin(n\theta)}{n}. Assim
(na fronteira \theta=0 ou \theta=2\pi a série converge para a média dos limites laterais, conforme comentado anteriormente).
Passo 8
Determinar a solução harmônica u(r,\theta) no interior 0\le r<4 usando os coeficientes da série de Fourier na borda r=4.
Forma geral regular (explicada no Passo 2):