Questão 7.
\begin{cases}u_{r r}+\frac{1}{r} u_{r}+\frac{1}{r^{2}} u_{\theta \theta}=0 & 0<r<4 \quad \text { e } \quad 0<\theta<2 \pi \\\ u(4, \theta)=e^{\theta} & 0 \leq \theta \leq 2 \pi\end{cases}

Passo 1

O enunciado dá o problema de Dirichlet para a equação de Laplace em coordenadas polares no disco de raio 4. Listei claramente o que foi dado e o que se pede:
  • Equação diferencial:
u_{r r}+\frac{1}{r}u_{r}+\frac{1}{r^{2}}u_{\theta\theta}=0,
válida para 0<r<4 e 0<\theta<2\pi.
  • Condição de contorno na fronteira r=4:
u(4,\theta)=e^{\theta},\qquad 0\le\theta\le2\pi.
O objetivo implícito é encontrar a função u(r,\theta) harmônica no disco 0<r<4 que satisfaça essa condição na fronteira.

Passo 2

Primeira observação importante (conceito que vale sempre aqui): uma função u(r,\theta) bem definida e de valor único no disco deve ser 2\pi-periódica em \theta:
u(r,\theta)=u(r,\theta+2\pi)\quad\text{para todo }(r,\theta).
Isso vem do fato de que o ângulo \theta e \theta+2\pi representam o mesmo ponto geométrico; portanto u não pode atribuir dois valores diferentes ao mesmo ponto. Consequência imediata para a condição de contorno: a função prescrita na fronteira deve satisfazer
u(4,0)=u(4,2\pi).
Aqui, avaliando a condição dada temos u(4,0)=e^{0}=1 e u(4,2\pi)=e^{2\pi}. Como 1\neq e^{2\pi}, a condição de contorno dada não é periódica e, portanto, não existe uma função harmônica single‑valued contínua no fecho do disco que satisfaça exatamente u(4,\theta)=e^{\theta} para todos \theta\in[0,2\pi]. Em palavras amistosas: a borda pede dois valores diferentes para o mesmo ponto (r=4,\theta=0)\equiv(r=4,\theta=2\pi), o que é impossível para uma única função bem definida.

Passo 3

Como isso é um ponto que costuma confundir na prova, explico as alternativas:
  • Conclusão rigorosa: não existe solução harmônica single‑valued que atenda exatamente a essa condição de contorno não periódica.
  • Abordagem prática (frequentemente pedida em exercícios): muitas vezes aceita‑se tomar a extensão 2\pi-periódica de e^{\theta} e procurar a solução harmônica que possui essa extensão periódica como contorno. Essa solução existe e é única (teorema de existência/uniqueness para Dirichlet no disco) e corresponde ao fechamento periódico da função e^{\theta} em [0,2\pi]. Vou calcular essa solução, mas atenção: ela não restaura o valor original em ambos os extremos \theta=0 e \theta=2\pi simultaneamente — ela corresponde à extensão periódica.

Passo 4

Método clássico para resolver Laplace no disco (revisão didática):
  • Para uma função harmônica regular no centro do disco (sem singularidades em r=0), a expansão em séries de Fourier em \theta tem a forma
u(r,\theta)=a_0+\sum_{n=1}^{\infty} r^{n}\bigl(A_{n}\cos n\theta + B_{n}\sin n\theta\bigr).
Explico por que: as soluções separáveis de Laplace em polares são combinações de r^{n}\cos n\theta, r^{n}\sin n\theta (partes regulares) e r^{-n} (partes singulares). Como queremos solução regular em r=0, descartamos os termos r^{-n}. A constante a_0 vem do modo n=0.
  • A condição de contorno em r=4 força
a_0+\sum_{n=1}^{\infty} 4^{n}\bigl(A_{n}\cos n\theta + B_{n}\sin n\theta\bigr)=f(\theta),
onde f(\theta) é a função de contorno (aqui, a extensão periódica de e^{\theta}). Então os coeficientes A_n,B_n são obtidos pelos coeficientes de Fourier de f, divididos por 4^n.

Passo 5

Escrevendo as fórmulas dos coeficientes de Fourier (relembre: estas fórmulas vêm do orthogonality das funções \cos n\theta,\sin n\theta):
a_0=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} f(\theta)\,d\theta,
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi} f(\theta)\cos n\theta\,d\theta,\qquad b_n=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi} f(\theta)\sin n\theta\,d\theta\quad(n\ge1).
Na correspondência com a expansão de u na fronteira r=4 teremos
A_n=\frac{a_n}{4^{n}},\qquad B_n=\frac{b_n}{4^{n}}.
Aqui vou tomar f(\theta) como a extensão 2\pi-periódica de e^{\theta} sobre [0,2\pi] (isto é, simplesmente usar f(\theta)=e^{\theta} em 0\le\theta\le2\pi e estendê‑la com perí­odo 2\pi).

Passo 6

Cálculo explícito dos coeficientes para f(\theta)=e^{\theta} em [0,2\pi]. Usarei a técnica de exponencial complexa para agilizar as integrais. Considere para n\in\mathbb{Z}
\int_{0}^{2\pi} e^{\theta}e^{i n\theta}\,d\theta=\int_{0}^{2\pi} e^{(1+i n)\theta}\,d\theta =\left[\frac{e^{(1+i n)\theta}}{1+i n}\right]_{0}^{2\pi} =\frac{e^{(1+i n)2\pi}-1}{1+i n}.
Como n é inteiro, e^{i n 2\pi}=1, logo
\int_{0}^{2\pi} e^{\theta}e^{i n\theta}\,d\theta=\frac{e^{2\pi}-1}{1+i n}.
Daí, separando parte real e imaginária (já que \cos n\theta=\Re(e^{i n\theta}) e \sin n\theta=\Im(e^{i n\theta})), obtemos para n\ge1
\int_{0}^{2\pi} e^{\theta}\cos n\theta\,d\theta=\Re\!\left(\frac{e^{2\pi}-1}{1+i n}\right),
\int_{0}^{2\pi} e^{\theta}\sin n\theta\,d\theta=\Im\!\left(\frac{e^{2\pi}-1}{1+i n}\right).
Agora use a identidade
\frac{1}{1+i n}=\frac{1-i n}{1+n^{2}}.
Portanto, com E:=e^{2\pi}-1, para n\ge1 resulta
\int_{0}^{2\pi} e^{\theta}\cos n\theta\,d\theta=E\cdot\frac{1}{1+n^{2}},
\int_{0}^{2\pi} e^{\theta}\sin n\theta\,d\theta=E\cdot\frac{-n}{1+n^{2}}.
E o coeficiente de ordem zero:
a_0=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} e^{\theta}\,d\theta=\frac{1}{2\pi}(e^{2\pi}-1)=\frac{E}{2\pi}.

Passo 7

Agora escrevemos explicitamente os coeficientes a_n,b_n (usando as fórmulas da Passo 5):
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi} e^{\theta}\cos n\theta\,d\theta =\frac{E}{\pi}\cdot\frac{1}{1+n^{2}},
b_n=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi} e^{\theta}\sin n\theta\,d\theta =\frac{E}{\pi}\cdot\frac{-n}{1+n^{2}}.
Lembre que A_n=a_n/4^{n} e B_n=b_n/4^{n}. Portanto a solução harmônica regular no centro que tem como contorno a extensão periódica de e^{\theta} é
u(r,\theta)=\frac{E}{2\pi}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{r}{4}\right)^{n}\frac{E}{\pi}\cdot\frac{\cos n\theta - n\sin n\theta}{1+n^{2}}.
(onde novamente E=e^{2\pi}-1). Expliquei cada passo: obtivemos os coeficientes por integrais, simplificamos usando exponencial complexa e montamos a série de potências em r com os fatores (r/4)^n que vêm de igualar a expansão no contorno r=4.

Passo 8

Interpretação final e observação para a prova:
  • Rigorosamente, o problema original com u(4,\theta)=e^{\theta} não tem solução harmônica single‑valued no disco porque a condição de contorno não é 2\pi-periódica (contradição entre u(4,0) e u(4,2\pi)). Por isso é importante sempre checar periodicidade quando trabalhar com coordenadas polares.
  • Se alguém pedir a extensão harmônica correspondente à extensão 2\pi-periódica de e^{\theta}, a série da Passo 7 é a solução única e regular no centro. Essa solução converge (uniformemente em qualquer disco fechado com raio <4) e satisfaz a condição de contorno no sentido da extensão periódica (mas não restabelece u(4,0)=1 e u(4,2\pi)=e^{2\pi} simultaneamente, porque isso é incompatível com single‑valuedness).

Resposta

Não existe solução harmônica single‑valued no disco que satisfaça exatamente u(4,\theta)=e^{\theta} para todo \theta\in[0,2\pi] (a condição de contorno não é 2\pi-periódica).
Se for considerada a extensão 2\pi-periódica de e^{\theta}, a solução harmônica regular no centro é
u(r,\theta)=\frac{e^{2\pi}-1}{2\pi}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{r}{4}\right)^{n}\frac{e^{2\pi}-1}{\pi}\cdot\frac{\cos n\theta - n\sin n\theta}{1+n^{2}}.

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