Questão 7.
Passo 1
O enunciado dá o problema de Dirichlet para a equação de Laplace em coordenadas polares no disco de raio
. Listei claramente o que foi dado e o que se pede:
- Equação diferencial:
válida para
e
.
- Condição de contorno na fronteira
:
O objetivo implícito é encontrar a função
harmônica no disco
que satisfaça essa condição na fronteira.
Passo 2
Primeira observação importante (conceito que vale sempre aqui): uma função
bem definida e de valor único no disco deve ser
-periódica em
:
Isso vem do fato de que o ângulo
e
representam o mesmo ponto geométrico; portanto
não pode atribuir dois valores diferentes ao mesmo ponto. Consequência imediata para a condição de contorno: a função prescrita na fronteira deve satisfazer
Aqui, avaliando a condição dada temos
e
. Como
, a condição de contorno dada não é periódica e, portanto, não existe uma função harmônica single‑valued contínua no fecho do disco que satisfaça exatamente
para todos
. Em palavras amistosas: a borda pede dois valores diferentes para o mesmo ponto
, o que é impossível para uma única função bem definida.
Passo 3
Como isso é um ponto que costuma confundir na prova, explico as alternativas:
- Conclusão rigorosa: não existe solução harmônica single‑valued que atenda exatamente a essa condição de contorno não periódica.
- Abordagem prática (frequentemente pedida em exercícios): muitas vezes aceita‑se tomar a extensão
-periódica de e procurar a solução harmônica que possui essa extensão periódica como contorno. Essa solução existe e é única (teorema de existência/uniqueness para Dirichlet no disco) e corresponde ao fechamento periódico da função em . Vou calcular essa solução, mas atenção: ela não restaura o valor original em ambos os extremos e simultaneamente — ela corresponde à extensão periódica.
Passo 4
Método clássico para resolver Laplace no disco (revisão didática):
- Para uma função harmônica regular no centro do disco (sem singularidades em
), a expansão em séries de Fourier em tem a forma
Explico por que: as soluções separáveis de Laplace em polares são combinações de
,
(partes regulares) e
(partes singulares). Como queremos solução regular em
, descartamos os termos
. A constante
vem do modo
.
- A condição de contorno em
força
onde
é a função de contorno (aqui, a extensão periódica de
). Então os coeficientes
são obtidos pelos coeficientes de Fourier de
, divididos por
.
Passo 5
Escrevendo as fórmulas dos coeficientes de Fourier (relembre: estas fórmulas vêm do orthogonality das funções
):
Na correspondência com a expansão de
na fronteira
teremos
Aqui vou tomar
como a extensão
-periódica de
sobre
(isto é, simplesmente usar
em
e estendê‑la com período
).
Passo 6
Cálculo explícito dos coeficientes para
em
. Usarei a técnica de exponencial complexa para agilizar as integrais. Considere para
Como
é inteiro,
, logo
Daí, separando parte real e imaginária (já que
e
), obtemos para
Agora use a identidade
Portanto, com
, para
resulta
E o coeficiente de ordem zero:
Passo 7
Agora escrevemos explicitamente os coeficientes
(usando as fórmulas da Passo 5):
Lembre que
e
. Portanto a solução harmônica regular no centro que tem como contorno a extensão periódica de
é
(onde novamente
). Expliquei cada passo: obtivemos os coeficientes por integrais, simplificamos usando exponencial complexa e montamos a série de potências em
com os fatores
que vêm de igualar a expansão no contorno
.
Passo 8
Interpretação final e observação para a prova:
- Rigorosamente, o problema original com
não tem solução harmônica single‑valued no disco porque a condição de contorno não é -periódica (contradição entre e ). Por isso é importante sempre checar periodicidade quando trabalhar com coordenadas polares. - Se alguém pedir a extensão harmônica correspondente à extensão
-periódica de , a série da Passo 7 é a solução única e regular no centro. Essa solução converge (uniformemente em qualquer disco fechado com raio ) e satisfaz a condição de contorno no sentido da extensão periódica (mas não restabelece e simultaneamente, porque isso é incompatível com single‑valuedness).
Resposta
Não existe solução harmônica single‑valued no disco que satisfaça exatamente
para todo
(a condição de contorno não é
-periódica).
Se for considerada a extensão -periódica de
, a solução harmônica regular no centro é
Se for considerada a extensão