Veja se é possível aplicar o método de separação de variáveis, se for possível escreva a forma da solução
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial parcial
e pede que se verifique se é possível aplicar o método de separação de variáveis e, se for possível, escrever a forma da solução. Informações relevantes fornecidas:
- A equação é linear e de primeira ordem, com coeficientes constantes.
- Não foram dadas condições iniciais ou de contorno (apenas a equação).
Passo 2
Ideia do método de separação de variáveis (assumir uma forma de solução produto). Neste método tenta-se uma solução do tipo
onde
depende só de
e
só de
. A intenção é transformar a PDE numa equação em que cada lado dependa de uma única variável.
Passo 3
Substituir
na PDE. Calculando as derivadas parciais:
Substituindo na equação obtemos
Passo 4
Dividir a expressão anterior por
(assumindo
e
não nulos onde queremos a solução):
Reescrevendo,
O lado esquerdo depende apenas de
e o direito apenas de
. Para que isso seja verdade para todos os
na região considerada, ambos os lados devem ser iguais a uma constante (denotada por
). Assim introduzimos
Passo 5
Resolver as equações ordinárias resultantes. Para
:
integrando,
onde
é constante.
Para
:
integrando,
onde
é constante.
Passo 6
Combinar
e
para obter a solução separada. O produto dá
onde
é constante. Portanto, para cada escolha de
e
obtemos uma solução da PDE.
Passo 7
Observação sobre a forma geral da solução (por que aparece uma função arbitrária). A família exponencial
depende apenas da combinação linear
. Como a equação é linear e as exponenciais para diferentes
podem ser combinadas (por soma ou integral, via transformadas), a forma mais geral da solução que depende de uma única combinação de variáveis é uma função arbitrária dessa combinação. Também se pode ver pela equação das características: as curvas características satisfazem
, integrando dá
, isto é,
. Assim a solução geral é uma função arbitrária dessa quantidade. Portanto a forma geral das soluções é
onde
é qualquer função diferenciável (adequada ao problema).