Veja se é possível aplicar o método de separação de variáveis, se for possível escreva a forma da solução
\frac{\partial u}{\partial x}+3 \frac{\partial u}{\partial y}=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial parcial
\frac{\partial u}{\partial x}+3 \frac{\partial u}{\partial y}=0
e pede que se verifique se é possível aplicar o método de separação de variáveis e, se for possível, escrever a forma da solução. Informações relevantes fornecidas:
  • A equação é linear e de primeira ordem, com coeficientes constantes.
  • Não foram dadas condições iniciais ou de contorno (apenas a equação).

Passo 2

Ideia do método de separação de variáveis (assumir uma forma de solução produto). Neste método tenta-se uma solução do tipo
u(x,y)=X(x)\,Y(y),
onde X depende só de x e Y só de y. A intenção é transformar a PDE numa equação em que cada lado dependa de uma única variável.

Passo 3

Substituir u(x,y)=X(x)Y(y) na PDE. Calculando as derivadas parciais:
\frac{\partial u}{\partial x}=X'(x)Y(y),\qquad \frac{\partial u}{\partial y}=X(x)Y'(y).
Substituindo na equação obtemos
X'(x)Y(y)+3X(x)Y'(y)=0.

Passo 4

Dividir a expressão anterior por X(x)Y(y) (assumindo X e Y não nulos onde queremos a solução):
\frac{X'(x)}{X(x)}+3\frac{Y'(y)}{Y(y)}=0.
Reescrevendo,
\frac{X'(x)}{X(x)}=-3\frac{Y'(y)}{Y(y)}.
O lado esquerdo depende apenas de x e o direito apenas de y. Para que isso seja verdade para todos os x,y na região considerada, ambos os lados devem ser iguais a uma constante (denotada por \lambda). Assim introduzimos
\frac{X'(x)}{X(x)}=\lambda, \qquad -3\frac{Y'(y)}{Y(y)}=\lambda.

Passo 5

Resolver as equações ordinárias resultantes. Para X:
\frac{X'(x)}{X(x)}=\lambda\quad\Rightarrow\quad \frac{d}{dx}\ln X(x)=\lambda
integrando,
\ln X(x)=\lambda x + C_1 \quad\Rightarrow\quad X(x)=A e^{\lambda x},
onde A=e^{C_1} é constante.
Para Y:
-3\frac{Y'(y)}{Y(y)}=\lambda\quad\Rightarrow\quad \frac{Y'(y)}{Y(y)}=-\frac{\lambda}{3}
integrando,
\ln Y(y)=-\frac{\lambda}{3}y + C_2 \quad\Rightarrow\quad Y(y)=B e^{-\frac{\lambda}{3}y},
onde B=e^{C_2} é constante.

Passo 6

Combinar X e Y para obter a solução separada. O produto dá
u(x,y)=X(x)Y(y)=AB\,e^{\lambda x}e^{-\frac{\lambda}{3}y}=C\,e^{\lambda\left(x-\tfrac{y}{3}\right)},
onde C=AB é constante. Portanto, para cada escolha de \lambda\in\mathbb{R} e C\in\mathbb{R} obtemos uma solução da PDE.

Passo 7

Observação sobre a forma geral da solução (por que aparece uma função arbitrária). A família exponencial e^{\lambda\left(x-\tfrac{y}{3}\right)} depende apenas da combinação linear x-\tfrac{y}{3}. Como a equação é linear e as exponenciais para diferentes \lambda podem ser combinadas (por soma ou integral, via transformadas), a forma mais geral da solução que depende de uma única combinação de variáveis é uma função arbitrária dessa combinação. Também se pode ver pela equação das características: as curvas características satisfazem \dfrac{dy}{dx}=3, integrando dá y-3x=\text{const}, isto é, x-\tfrac{y}{3}=\text{const}. Assim a solução geral é uma função arbitrária dessa quantidade. Portanto a forma geral das soluções é
u(x,y)=F\!\left(x-\tfrac{y}{3}\right),
onde F é qualquer função diferenciável (adequada ao problema).

Resposta

u(x,y)=C\,e^{\lambda\left(x-\tfrac{y}{3}\right)} com C,\lambda constantes.
u(x,y)=F\!\left(x-\tfrac{y}{3}\right) com F função arbitrária diferenciável.

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