Questão 5.

\begin{cases}u_{x x}+u_{y y}=0 & 0<x<1 \quad \text { e } \quad 0<y<2 \\\ u(x, 0)=x^{3}, u(x, 2)=x & 0 \leq x \leq 1 \\\ u(0, y)=3 \sin \left(\frac{\pi y}{2}\right), & \\\ u(1, y)=2 \sin (\pi y)-5 \sin (4 \pi y) & 0 \leq y \leq 2\end{cases}

Passo 1

O problema pede a função u(x,y) que é harmônica (satisfaz a equação de Laplace) no retângulo 0<x<1,\;0<y<2 e que assume as seguintes condições de contorno (peguei todas estas informações do enunciado):
  • equação: \;u_{x x}+u_{y y}=0 para 0<x<1 e 0<y<2;
  • contornos em y:
    \;u(x,0)=x^{3} para 0\le x\le1,
    \;u(x,2)=x para 0\le x\le1;
  • contornos em x:
    \;u(0,y)=3\sin\!\left(\dfrac{\pi y}{2}\right) para 0\le y\le2,
    \;u(1,y)=2\sin(\pi y)-5\sin(4\pi y) para 0\le y\le2.
O que se pede: encontrar explicitamente u(x,y) que satisfaz a equação de Laplace e essas quatro condições de contorno.

Passo 2

Estratégia e por que escolhi ela (explicando passo a passo, como num amigo que te explica):
  • A Laplace é linear, então dá para decompor u por superposição. Vou escrever u(x,y)=v(x,y)+w(x,y),onde v resolve a Laplace com contornos verticais (em x) dados e contornos horizontais (em y) nulos; e w resolve Laplace com contornos horizontais dados e contornos verticais nulos. Concretamente:
    • v satisfaz \Delta v=0, v(x,0)=v(x,2)=0, v(0,y)=3\sin\!\left(\dfrac{\pi y}{2}\right), v(1,y)=2\sin(\pi y)-5\sin(4\pi y).
    • w satisfaz \Delta w=0, w(0,y)=w(1,y)=0, w(x,0)=x^{3}, w(x,2)=x.
Razão: as condições em x=0,1 já estão dadas em termos de funções seno de y (base natural \sin\!\big(\tfrac{n\pi y}{2}\big) que anulam em y=0,2). Já as condições em y=0,2 são funções de x que se expandem naturalmente em senos \sin(m\pi x) (que anulam em x=0,1). Assim cada subproblema usa a base de autovalores apropriada e fica simples (no caso de v só aparecem poucos modos; no caso de w aparece uma série em m).

Passo 3

Resolver v: separação usando modos em y.
  1. Procuramos v na forma
v(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty}X_n(x)\sin\!\left(\frac{n\pi y}{2}\right).
A razão: \sin\!\left(\frac{n\pi y}{2}\right) anula em y=0 e y=2, portanto a condição v(x,0)=v(x,2)=0 é automaticamente satisfeita termo a termo.
  1. Substituindo em \Delta v=0 obtemos para cada n a EDO
X_n''(x)-\left(\frac{n\pi}{2}\right)^2 X_n(x)=0.
As soluções gerais são combinações de funções hiperbólicas:
X_n(x)=A_n\operatorname{sinh}\!\left(\frac{n\pi}{2}x\right)+B_n\operatorname{sinh}\!\left(\frac{n\pi}{2}(1-x)\right).
Essa escrita é conveniente porque avaliada em x=0 X_n(0)=B_n\operatorname{sinh}\!\left(\frac{n\pi}{2}\right) e em x=1 X_n(1)=A_n\operatorname{sinh}\!\left(\frac{n\pi}{2}\right).
  1. Expandir os contornos verticais nas mesmas senóides em y. Do enunciado:
f_0(y):=v(0,y)=u(0,y)=3\sin\!\left(\frac{\pi y}{2}\right)
f_1(y):=v(1,y)=u(1,y)=2\sin(\pi y)-5\sin(4\pi y).
Vamos escrever essas funções como séries
f_0(y)=\sum_{n=1}^\infty b_n\sin\!\left(\frac{n\pi y}{2}\right),\qquad f_1(y)=\sum_{n=1}^\infty a_n\sin\!\left(\frac{n\pi y}{2}\right).
Aqui eu “peguei” os dados da fronteira: comparando diretamente, vemos que as únicas contribuições não nulas são
b_1=3,\qquad b_n=0\\ \text{para }n\ne1,
a_2=2,\qquad a_8=-5,\qquad a_n=0\\ \text{para outros }n.
Isto porque \sin(\pi y)=\sin\!\left(\tfrac{2\pi y}{2}\right) corresponde a n=2 e \sin(4\pi y)=\sin\!\left(\tfrac{8\pi y}{2}\right) corresponde a n=8.
  1. Igualando as expressões em x=0 e x=1 obtemos
X_n(0)=B_n\operatorname{sinh}\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)=b_n,\qquad X_n(1)=A_n\operatorname{sinh}\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)=a_n.
Portanto
A_n=\frac{a_n}{\operatorname{sinh}\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)},\qquad B_n=\frac{b_n}{\operatorname{sinh}\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)}.
  1. Assim a solução v fica (somando apenas os n com coeficientes não nulos, ou seja n=1,2,8):
v(x,y)=\sum_{n\in\{1,2,8\}} \left[ \frac{a_n}{\operatorname{sinh}\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)}\operatorname{sinh}\!\left(\frac{n\pi}{2}x\right) + \frac{b_n}{\operatorname{sinh}\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)}\operatorname{sinh}\!\left(\frac{n\pi}{2}(1-x)\right) \right] \sin\!\left(\frac{n\pi y}{2}\right).
Substituindo a_n,b_n conhecidos:
v(x,y)= 3\frac{\operatorname{sinh}\!\big(\tfrac{\pi}{2}(1-x)\big)}{\operatorname{sinh}\!\big(\tfrac{\pi}{2}\big)}\sin\!\left(\tfrac{\pi y}{2}\right) + 2\frac{\operatorname{sinh}(\pi x)}{\operatorname{sinh}(\pi)}\sin(\pi y) - 5\frac{\operatorname{sinh}(4\pi x)}{\operatorname{sinh}(4\pi)}\sin(4\pi y).

Passo 4

Resolver w: separação usando modos em x.
  1. Procuramos w na forma
w(x,y)=\sum_{m=1}^{\infty}Y_m(y)\sin(m\pi x),
pois \sin(m\pi x) anula em x=0,1, garantindo w(0,y)=w(1,y)=0.
  1. Substituindo em \Delta w=0 obtemos para cada m
Y_m''(y)-(m\pi)^2 Y_m(y)=0.
As soluções são combinações exponenciais ou, convenientemente,
Y_m(y)=A_m\operatorname{sinh}(m\pi y)+B_m\operatorname{sinh}(m\pi(2-y)).
Avaliada em y=0: Y_m(0)=B_m\operatorname{sinh}(2m\pi). Em y=2: Y_m(2)=A_m\operatorname{sinh}(2m\pi).
  1. Expandir os contornos horizontais em senos em x. Para 0\le x\le1 definimos as séries senoidais:
x^3=\sum_{m=1}^\infty s_m\sin(m\pi x),\qquad x=\sum_{m=1}^\infty t_m\sin(m\pi x),
onde, pela ortogonalidade da base, os coeficientes são
s_m=2\int_0^1 x^3\sin(m\pi x)\,dx,\qquad t_m=2\int_0^1 x\sin(m\pi x)\,dx.
  1. Calcular t_m explicitamente (integração por partes simples):
  • Tomando a=m\pi:
\int_0^1 x\sin(ax)\,dx = \left[-\frac{x\cos(ax)}{a}\right]_0^1+\frac{1}{a}\int_0^1\cos(ax)\,dx = -\frac{\cos a}{a}+\frac{\sin a}{a^2}.
Mas \sin(a)=\sin(m\pi)=0. Então
\int_0^1 x\sin(m\pi x)\,dx=-\frac{\cos(m\pi)}{m\pi}=-\frac{(-1)^m}{m\pi}.
Multiplicando por 2 obtemos
t_m=2\int_0^1 x\sin(m\pi x)\,dx=\frac{2(-1)^{m+1}}{m\pi}.
  1. Calcular s_m (integração por partes repetida). Para a=m\pi e I=\int_0^1 x^3\sin(ax)\,dx obtém-se, após três integrações por partes (mostrar todos os passos é longo mas é procedimento mecânico; resumo do resultado):
I=-\frac{\cos a}{a}+\frac{3\sin a}{a^2}+\frac{6\cos a}{a^3}-\frac{6\sin a}{a^4}.
Novamente \sin(a)=0, então
I=-\frac{\cos a}{a}+\frac{6\cos a}{a^3}=\cos a\left(-\frac{1}{a}+\frac{6}{a^3}\right).
Multiplicando por 2
s_m=2I=2\cos(m\pi)\left(-\frac{1}{m\pi}+\frac{6}{m^3\pi^3}\right).
Como \cos(m\pi)=(-1)^m isso pode ser escrito também como
s_m=\frac{2(-1)^{m+1}}{m\pi}+\frac{12(-1)^m}{m^3\pi^3}.
Observe que o primeiro termo é exatamente t_m; então s_m=t_m+\dfrac{12(-1)^m}{m^3\pi^3}.
  1. Determinar A_m,B_m a partir dos valores em y=0,2:
Y_m(0)=B_m\operatorname{sinh}(2m\pi)=s_m,\qquad Y_m(2)=A_m\operatorname{sinh}(2m\pi)=t_m.
Logo
A_m=\frac{t_m}{\operatorname{sinh}(2m\pi)},\qquad B_m=\frac{s_m}{\operatorname{sinh}(2m\pi)}.
  1. Assim a contribuição w é, para cada m,
Y_m(y)=\frac{t_m\operatorname{sinh}(m\pi y)+s_m\operatorname{sinh}(m\pi(2-y))}{\operatorname{sinh}(2m\pi)},
e portanto
w(x,y)=\sum_{m=1}^{\infty} \frac{t_m\operatorname{sinh}(m\pi y)+s_m\operatorname{sinh}(m\pi(2-y))}{\operatorname{sinh}(2m\pi)}\sin(m\pi x),
com t_m e s_m dados nas fórmulas anteriores.

Passo 5

Juntar v e w e simplificar a expressão final.
Relembrando:
  • para v (só modos n=1,2,8):
v(x,y)= 3\frac{\operatorname{sinh}\!\big(\tfrac{\pi}{2}(1-x)\big)}{\operatorname{sinh}\!\big(\tfrac{\pi}{2}\big)}\sin\!\left(\tfrac{\pi y}{2}\right) + 2\frac{\operatorname{sinh}(\pi x)}{\operatorname{sinh}(\pi)}\sin(\pi y) - 5\frac{\operatorname{sinh}(4\pi x)}{\operatorname{sinh}(4\pi)}\sin(4\pi y).
  • para w (série em m\ge1):
w(x,y)=\sum_{m=1}^{\infty} \frac{t_m\,\operatorname{sinh}(m\pi y)+s_m\,\operatorname{sinh}(m\pi(2-y))}{\operatorname{sinh}(2m\pi)}\sin(m\pi x),
com
t_m=\frac{2(-1)^{m+1}}{m\pi},\qquad s_m=\frac{2(-1)^{m+1}}{m\pi}+\frac{12(-1)^m}{m^3\pi^3}.
Portanto a solução u(x,y)=v(x,y)+w(x,y) é dada pela soma explícita acima. Esta forma já é adequada para uso em prova: tem os termos principais escritos de forma fechada e a série para w com os coeficientes explicitados; em particular todos os coeficientes foram calculados por integrais (mostrei o cálculo de t_m e o esquema para s_m, com a expressão final).

Resposta

u(x,y)= 3\frac{\operatorname{sinh}\!\big(\tfrac{\pi}{2}(1-x)\big)}{\operatorname{sinh}\!\big(\tfrac{\pi}{2}\big)}\sin\!\left(\tfrac{\pi y}{2}\right) + 2\frac{\operatorname{sinh}(\pi x)}{\operatorname{sinh}(\pi)}\sin(\pi y) - 5\frac{\operatorname{sinh}(4\pi x)}{\operatorname{sinh}(4\pi)}\sin(4\pi y) + \sum_{m=1}^{\infty} \frac{t_m\,\operatorname{sinh}(m\pi y)+s_m\,\operatorname{sinh}(m\pi(2-y))}{\operatorname{sinh}(2m\pi)}\sin(m\pi x)
\text{com}\qquad t_m=\frac{2(-1)^{m+1}}{m\pi},\qquad s_m=\frac{2(-1)^{m+1}}{m\pi}+\frac{12(-1)^m}{m^3\pi^3}.

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