O problema pede a função u(x,y) que é harmônica (satisfaz a equação de Laplace) no retângulo 0<x<1,\;0<y<2 e que assume as seguintes condições de contorno (peguei todas estas informações do enunciado):
equação: \;u_{x x}+u_{y y}=0 para 0<x<1 e 0<y<2;
contornos em y: \;u(x,0)=x^{3} para 0\le x\le1, \;u(x,2)=x para 0\le x\le1;
contornos em x: \;u(0,y)=3\sin\!\left(\dfrac{\pi y}{2}\right) para 0\le y\le2, \;u(1,y)=2\sin(\pi y)-5\sin(4\pi y) para 0\le y\le2.
O que se pede: encontrar explicitamente u(x,y) que satisfaz a equação de Laplace e essas quatro condições de contorno.
Passo 2
Estratégia e por que escolhi ela (explicando passo a passo, como num amigo que te explica):
A Laplace é linear, então dá para decompor u por superposição. Vou escreveru(x,y)=v(x,y)+w(x,y),onde v resolve a Laplace com contornos verticais (em x) dados e contornos horizontais (em y) nulos; e w resolve Laplace com contornos horizontais dados e contornos verticais nulos. Concretamente:
v satisfaz \Delta v=0, v(x,0)=v(x,2)=0, v(0,y)=3\sin\!\left(\dfrac{\pi y}{2}\right), v(1,y)=2\sin(\pi y)-5\sin(4\pi y).
w satisfaz \Delta w=0, w(0,y)=w(1,y)=0, w(x,0)=x^{3}, w(x,2)=x.
Razão: as condições em x=0,1 já estão dadas em termos de funções seno de y (base natural \sin\!\big(\tfrac{n\pi y}{2}\big) que anulam em y=0,2). Já as condições em y=0,2 são funções de x que se expandem naturalmente em senos \sin(m\pi x) (que anulam em x=0,1). Assim cada subproblema usa a base de autovalores apropriada e fica simples (no caso de v só aparecem poucos modos; no caso de w aparece uma série em m).
Essa escrita é conveniente porque avaliada em x=0 dá X_n(0)=B_n\operatorname{sinh}\!\left(\frac{n\pi}{2}\right) e em x=1 dá X_n(1)=A_n\operatorname{sinh}\!\left(\frac{n\pi}{2}\right).
Expandir os contornos verticais nas mesmas senóides em y. Do enunciado:
Calcular s_m (integração por partes repetida). Para a=m\pi e I=\int_0^1 x^3\sin(ax)\,dx obtém-se, após três integrações por partes (mostrar todos os passos é longo mas é procedimento mecânico; resumo do resultado):
Portanto a solução u(x,y)=v(x,y)+w(x,y) é dada pela soma explícita acima. Esta forma já é adequada para uso em prova: tem os termos principais escritos de forma fechada e a série para w com os coeficientes explicitados; em particular todos os coeficientes foram calculados por integrais (mostrei o cálculo de t_m e o esquema para s_m, com a expressão final).